ГДЗ: Упражнение 344 - § 19 (Логарифмические уравнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

• 1. Находим ОДЗ: Аргументы логарифмов должны быть положительны: \( (x + 2)(x + 3) > 0 \) и \( \frac{x - 2}{x + 3} > 0 \).
  Общее ОДЗ (требуется, чтобы \( x+3 \) в знаменателе не меняло знак, и \( (x+2)(x+3) \) и \( \frac{x-2}{x+3} \) были положительны): \( \mathbf{x \in (-\infty; -3) \cup (2; +\infty)} \).
• 2. Применяем свойство логарифма произведения:
  \( \log_4 \left( (x + 2)(x + 3) \cdot \frac{x - 2}{x + 3} \right) = 2 \).
  Так как \( x + 3 \neq 0 \) по ОДЗ, сокращаем:
  \( \log_4 ((x + 2)(x - 2)) = 2 \).
  \( \log_4 (x^2 - 4) = 2 \).
• 3. Переходим к алгебраическому уравнению: \( x^2 - 4 = 4^2 \).
  \( x^2 - 4 = 16 \).
  \( x^2 = 20 \).
• 4. Решаем и проверяем ОДЗ: Корни: \( x = \pm \sqrt{20} = \pm 2\sqrt{5} \) (приблизительно \( \pm 4.47 \)).
  \( x_1 = 2\sqrt{5} \): \( 2\sqrt{5} \approx 4.47 > 2 \). Подходит.
  \( x_2 = -2\sqrt{5} \): \( -2\sqrt{5} \approx -4.47 < -3 \). Подходит.

Ответ: \( x_1 = 2\sqrt{5}, x_2 = -2\sqrt{5} \).

• 1. Находим ОДЗ: Аргументы логарифмов должны быть положительны: \( \frac{x - 1}{x + 4} > 0 \) и \( (x - 1)(x + 4) > 0 \).
  Оба неравенства равносильны: \( \mathbf{x \in (-\infty; -4) \cup (1; +\infty)} \).
• 2. Применяем свойство логарифма произведения:
  \( \log_2 \left( \frac{x - 1}{x + 4} \cdot (x - 1)(x + 4) \right) = 2 \).
  Так как \( x + 4 \neq 0 \) по ОДЗ, сокращаем:
  \( \log_2 (x - 1)^2 = 2 \).
• 3. Переходим к алгебраическому уравнению: \( (x - 1)^2 = 2^2 \).
  \( (x - 1)^2 = 4 \).
  \( x - 1 = \pm 2 \).
• 4. Решаем и проверяем ОДЗ:
  \( x_1 - 1 = 2 \Rightarrow x_1 = 3 \). (Подходит, \( 3 \in (1; +\infty) \)).
  \( x_2 - 1 = -2 \Rightarrow x_2 = -1 \). (Не подходит, \( -1 \notin (-\infty; -4) \cup (1; +\infty) \)).

Ответ: \( x = 3 \).

• 1. Находим ОДЗ: \( x^2 > 0 \) (т.е. \( x \neq 0 \)) и \( \frac{x}{x + 6} > 0 \) (т.е. \( x \in (-\infty; -6) \cup (0; +\infty) \)). Окончательное ОДЗ: \( \mathbf{x \in (-\infty; -6) \cup (0; +\infty)} \).
• 2. Применяем свойство логарифма частного:
  \( \log_3 \left( x^2 : \frac{x}{x + 6} \right) = 3 \).
  \( \log_3 \left( x^2 \cdot \frac{x + 6}{x} \right) = 3 \).
  Так как \( x \neq 0 \) по ОДЗ: \( \log_3 (x(x + 6)) = 3 \).
• 3. Переходим к алгебраическому уравнению: \( x(x + 6) = 3^3 \).
  \( x^2 + 6x = 27 \).
  \( x^2 + 6x - 27 = 0 \).
• 4. Решаем и проверяем ОДЗ:
  \( (x + 9)(x - 3) = 0 \). Корни: \( x_1 = -9, x_2 = 3 \).
  \( x_1 = -9 \): Подходит (\( -9 \in (-\infty; -6) \)).
  \( x_2 = 3 \): Подходит (\( 3 \in (0; +\infty) \)).

Ответ: \( x_1 = -9, x_2 = 3 \).

• 1. Находим ОДЗ: \( \frac{x + 4}{x} > 0 \) (т.е. \( x \in (-\infty; -4) \cup (0; +\infty) \)) и \( x^2 > 0 \) (т.е. \( x \neq 0 \)). Окончательное ОДЗ: \( \mathbf{x \in (-\infty; -4) \cup (0; +\infty)} \).
• 2. Применяем свойство логарифма произведения:
  \( \log_2 \left( \frac{x + 4}{x} \cdot x^2 \right) = 5 \).
  Так как \( x \neq 0 \) по ОДЗ: \( \log_2 ((x + 4)x) = 5 \).
  \( \log_2 (x^2 + 4x) = 5 \).
• 3. Переходим к алгебраическому уравнению: \( x^2 + 4x = 2^5 \).
  \( x^2 + 4x = 32 \).
  \( x^2 + 4x - 32 = 0 \).
• 4. Решаем и проверяем ОДЗ:
  \( (x + 8)(x - 4) = 0 \). Корни: \( x_1 = -8, x_2 = 4 \).
  \( x_1 = -8 \): Подходит (\( -8 \in (-\infty; -4) \)).
  \( x_2 = 4 \): Подходит (\( 4 \in (0; +\infty) \)).

Ответ: \( x_1 = -8, x_2 = 4 \).