ГДЗ: Упражнение 350 - § 19 (Логарифмические уравнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

• 1. Находим ОДЗ: \( 6 \cdot 5^{x^2} - 25 \cdot 20^x > 0 \).
• 2. Преобразуем логарифмы:
  \( \lg \frac{6 \cdot 5^{x^2} - 25 \cdot 20^x}{25} = x \).
• 3. По определению логарифма:
  \( \frac{6 \cdot 5^{x^2} - 25 \cdot 20^x}{25} = 10^x \).
  \( 6 \cdot 5^{x^2} - 25 \cdot 20^x = 25 \cdot 10^x \).
• 4. Группируем слагаемые:
  \( 6 \cdot 5^{x^2} = 25 \cdot 20^x + 25 \cdot 10^x \).
  \( 6 \cdot 5^{x^2} = 25 \cdot 10^x (2^x + 1) \).
• 5. Анализ: Это уравнение является трансцендентным и не имеет простого аналитического решения. Вероятно, в условии допущена опечатка (например, \( x^2 \) вместо \( x \)). Однако, решая исходное уравнение, можно лишь констатировать, что оно сводится к сложному показательному уравнению. Простым подбором можно убедиться, что целые числа не являются корнями.

Ответ: Уравнение сводится к \( 6 \cdot 5^{x^2} = 25 \cdot 10^x (2^x + 1) \). Решение не может быть найдено простыми методами (предполагая опечатку в учебнике).

• 1. Находим ОДЗ: \( 2^{x^2} + x + 4 > 0 \).
  Так как \( x^2 \ge 0 \), \( 2^{x^2} \ge 1 \). Квадратный трехчлен \( x^2 + x + 4 \) имеет отрицательный дискриминант и положителен для всех \( x \). Таким образом, ОДЗ: \( x \in \mathbb{R} \).
• 2. Преобразуем уравнение:
  \( \lg (2^{x^2} + x + 4) + \lg 5 = x \).
  \( \lg (5(2^{x^2} + x + 4)) = x \).
• 3. По определению логарифма:
  \( 5(2^{x^2} + x + 4) = 10^x \).
  \( 2^{x^2} + x + 4 = \frac{10^x}{5} = 2 \cdot 10^x \).
• 4. Решаем подбором/анализом:
  Проверим \( x = 0 \): \( 2^0 + 0 + 4 = 5 \). \( 2 \cdot 10^0 = 2 \). \( 5 \neq 2 \).
  Проверим \( x = 1 \): \( 2^1 + 1 + 4 = 7 \). \( 2 \cdot 10^1 = 20 \). \( 7 \neq 20 \).
  Проверим \( x = 2 \): \( 2^4 + 2 + 4 = 22 \). \( 2 \cdot 10^2 = 200 \). \( 22 \neq 200 \).
  Как и в предыдущем случае, уравнение является трансцендентным и, скорее всего, имеет ошибку в условии.

Ответ: Уравнение сводится к \( 2^{x^2} + x + 4 = 2 \cdot 10^x \). Решение не может быть найдено простыми методами (предполагая опечатку в учебнике).