ГДЗ: Упражнение 347 - § 19 (Логарифмические уравнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

• 1. Находим ОДЗ: \( x > 0 \) и \( y > 0 \).
• 2. Вводим замену: Пусть \( u = \lg x \) и \( v = \lg y \). Система принимает вид:
  \( \begin{cases} u - v = 7 \\ u + v = 5 \end{cases} \).
• 3. Решаем линейную систему:
  Сложим уравнения: \( (u - v) + (u + v) = 7 + 5 \). \( 2u = 12 \). \( u = 6 \).
  Вычтем второе из первого: \( (u - v) - (u + v) = 7 - 5 \). \( -2v = 2 \). \( v = -1 \).
• 4. Обратная замена:
  \( \lg x = 6 \Rightarrow x = 10^6 \).
  \( \lg y = -1 \Rightarrow y = 10^{-1} = 0.1 \).
• 5. Проверяем ОДЗ: \( x = 10^6 > 0, y = 0.1 > 0 \). Решение подходит.

Ответ: \( (10^6; 0.1) \).

• 1. Находим ОДЗ: \( x > 0 \) и \( y > 0 \).
• 2. Выражаем \( y \) из второго уравнения: \( y = \frac{2}{x} \) (так как \( x \neq 0 \)).
• 3. Подставляем в первое уравнение:
  \( \log_2 x + \frac{1}{2} \log_2 \left( \frac{2}{x} \right) = 4 \).
  Используем свойство логарифма частного:
  \( \log_2 x + \frac{1}{2} (\log_2 2 - \log_2 x) = 4 \).
  \( \log_2 x + \frac{1}{2} (1 - \log_2 x) = 4 \).
• 4. Вводим замену: Пусть \( u = \log_2 x \).
  \( u + \frac{1}{2} (1 - u) = 4 \).
  \( u + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} u = 4 \).
  \( \frac{1}{2} u = 4 - \frac{1}{2} = \frac{7}{2} \).
  \( u = 7 \).
• 5. Обратная замена:
  \( \log_2 x = 7 \Rightarrow x = 2^7 = 128 \).
• 6. Находим \( y \): \( y = \frac{2}{x} = \frac{2}{128} = \frac{1}{64} \).
• 7. Проверяем ОДЗ: \( x = 128 > 0, y = 1/64 > 0 \). Решение подходит.

Ответ: \( (128; \frac{1}{64}) \).