ГДЗ: Упражнение 348 - § 19 (Логарифмические уравнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

• 1. Находим ОДЗ: \( x > 0 \) и \( x \neq 1 \).
• 2. Используем формулу перехода: \( \log_x 2 = \frac{1}{\log_2 x} \).
• 3. Вводим замену: Пусть \( y = \log_2 x \) (\( y \neq 0 \)).
  \( y - \frac{1}{y} = -1 \).
  Умножаем на \( y \): \( y^2 - 1 = -y \).
  \( y^2 + y - 1 = 0 \).
• 4. Решаем квадратное уравнение относительно \( y \):
  \( D = 1^2 - 4(1)(-1) = 5 \).
  \( y_{1, 2} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2} \).
• 5. Обратная замена:
  \( \log_2 x = \frac{\sqrt{5} - 1}{2} \Rightarrow x_1 = 2^{\frac{\sqrt{5} - 1}{2}} \).
  \( \log_2 x = \frac{-1 - \sqrt{5}}{2} \Rightarrow x_2 = 2^{\frac{-1 - \sqrt{5}}{2}} \).
• 6. Проверяем ОДЗ: Оба корня положительны и не равны 1.

Ответ: \( x_1 = 2^{\frac{\sqrt{5} - 1}{2}}, x_2 = 2^{\frac{-1 - \sqrt{5}}{2}} \).

• 1. Находим ОДЗ: \( x > 0 \) и \( x \neq 1 \).
• 2. Вводим замену: Пусть \( y = \log_2 x \) (\( y \neq 0 \)).
  \( y + \frac{1}{y} = 2.5 \) или \( y + \frac{1}{y} = \frac{5}{2} \).
  Умножаем на \( 2y \): \( 2y^2 + 2 = 5y \).
  \( 2y^2 - 5y + 2 = 0 \).
• 3. Решаем квадратное уравнение относительно \( y \):
  \( D = (-5)^2 - 4(2)(2) = 9 \).
  \( y_{1, 2} = \frac{5 \pm 3}{4} \).
  \( y_1 = \frac{8}{4} = 2 \).
  \( y_2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \).
• 4. Обратная замена:
  \( \log_2 x = 2 \Rightarrow x_1 = 2^2 = 4 \).
  \( \log_2 x = \frac{1}{2} \Rightarrow x_2 = 2^{1/2} = \sqrt{2} \).
• 5. Проверяем ОДЗ: Оба корня подходят.

Ответ: \( x_1 = 4, x_2 = \sqrt{2} \).

• 1. Находим ОДЗ: \( x > 0 \) и \( x \neq 1 \).
• 2. Вводим замену: Пусть \( y = \log_3 x \) (\( y \neq 0 \)).
  \( y + 2 \cdot \frac{1}{y} = 3 \).
  Умножаем на \( y \): \( y^2 + 2 = 3y \).
  \( y^2 - 3y + 2 = 0 \).
• 3. Решаем квадратное уравнение относительно \( y \):
  \( (y - 1)(y - 2) = 0 \).
  \( y_1 = 1, y_2 = 2 \).
• 4. Обратная замена:
  \( \log_3 x = 1 \Rightarrow x_1 = 3^1 = 3 \).
  \( \log_3 x = 2 \Rightarrow x_2 = 3^2 = 9 \).
• 5. Проверяем ОДЗ: Оба корня подходят.

Ответ: \( x_1 = 3, x_2 = 9 \).

• 1. Примечание: В уравнении, скорее всего, опечатка и вместо \( \log_x 3 \) должно быть \( \log_x 4 \) (для решения методом замены переменной). Мы будем решать, исходя из наиболее вероятной структуры: \( \log_4 x - 6 \log_x 4 = 1 \).
• 2. Находим ОДЗ: \( x > 0 \) и \( x \neq 1 \).
• 3. Вводим замену: Пусть \( y = \log_4 x \) (\( y \neq 0 \)).
  \( y - \frac{6}{y} = 1 \).
  Умножаем на \( y \): \( y^2 - 6 = y \).
  \( y^2 - y - 6 = 0 \).
• 4. Решаем квадратное уравнение относительно \( y \):
  \( (y - 3)(y + 2) = 0 \).
  \( y_1 = 3, y_2 = -2 \).
• 5. Обратная замена:
  \( \log_4 x = 3 \Rightarrow x_1 = 4^3 = 64 \).
  \( \log_4 x = -2 \Rightarrow x_2 = 4^{-2} = \frac{1}{16} \).
• 6. Проверяем ОДЗ: Оба корня подходят.

Ответ: \( x_1 = 64, x_2 = \frac{1}{16} \) (на основе предположения об опечатке).