Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 19 / Задание 343

ГДЗ: Упражнение 343 - § 19 (Логарифмические уравнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 105, 108, 109

Глава:	Глава 4
Параграф:	§ 19 - Логарифмические уравнения
Учебник:	Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор:	Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год:	2025
Издание:

343 упражнение:

Решить уравнение (343–352).

1) \( \log_2 x^2 = 0 \)

1. Находим ОДЗ: \( x^2 > 0 \). Таким образом, \( x \neq 0 \).
2. Переходим к алгебраическому уравнению: По определению логарифма: \( x^2 = 2^0 \). \( x^2 = 1 \).
3. Решаем: \( x = \pm 1 \).
4. Проверяем ОДЗ: Оба корня подходят.

Ответ: \( x_1 = 1, x_2 = -1 \).

2) \( \log_2^2 x = 3 \)

1. Находим ОДЗ: \( x > 0 \).
2. Заменяем: Уравнение можно записать как \( (\log_2 x)^2 = 3 \).
\( \log_2 x = \pm \sqrt{3} \).
3. Решаем:
\( \log_2 x = \sqrt{3} \Rightarrow x_1 = 2^{\sqrt{3}} \).
\( \log_2 x = -\sqrt{3} \Rightarrow x_2 = 2^{-\sqrt{3}} \).
4. Проверяем ОДЗ: Оба корня положительны и подходят.

Ответ: \( x_1 = 2^{\sqrt{3}}, x_2 = 2^{-\sqrt{3}} \).

3) \( \log_3 x^3 = 0 \)

1. Находим ОДЗ: \( x^3 > 0 \). Таким образом, \( x > 0 \).
2. Переходим к алгебраическому уравнению: По определению логарифма: \( x^3 = 3^0 \). \( x^3 = 1 \).
3. Решаем: \( x = 1 \).
4. Проверяем ОДЗ: Корень \( x = 1 \) подходит.

Ответ: \( x = 1 \).

4) (4) \( \log_4 x^6 = 6 \)

1. Находим ОДЗ: \( x^6 > 0 \). Таким образом, \( x \neq 0 \).
2. Переходим к алгебраическому уравнению: По определению логарифма: \( x^6 = 4^6 \).
3. Решаем: Извлекаем корень шестой степени: \( x = \pm 4 \).
4. Проверяем ОДЗ: Оба корня подходят.

Ответ: \( x_1 = 4, x_2 = -4 \).

5) \( \lg x^4 + \lg (4x) = 2 + \lg x^3 \)

1. Находим ОДЗ: \( x^4 > 0, 4x > 0, x^3 > 0 \). Окончательное ОДЗ: \( x > 0 \).
2. Используем свойства логарифмов: Так как \( x > 0 \), \( \lg x^4 = 4 \lg x \) и \( \lg x^3 = 3 \lg x \).
\( 4 \lg x + \lg 4 + \lg x = 2 + 3 \lg x \).
3. Приводим подобные слагаемые:
\( 5 \lg x + \lg 4 = 2 + 3 \lg x \).
\( 2 \lg x = 2 - \lg 4 \).
4. Упрощаем правую часть и приравниваем аргументы:
\( \lg x^2 = \lg 100 - \lg 4 \) (так как \( 2 = \lg 100 \)).
\( \lg x^2 = \lg \frac{100}{4} \).
\( \lg x^2 = \lg 25 \).
\( x^2 = 25 \).
5. Решаем и проверяем ОДЗ: Корни: \( x = \pm 5 \). Подходит только \( x = 5 \) (так как \( x > 0 \)).

Ответ: \( x = 5 \).

6) \( \lg x + \lg x^2 = \lg (9x) \)

1. Находим ОДЗ: \( x > 0, x^2 > 0, 9x > 0 \). Окончательное ОДЗ: \( x > 0 \).
2. Применяем свойство логарифма произведения к левой части:
\( \lg (x \cdot x^2) = \lg (9x) \).
\( \lg x^3 = \lg (9x) \).
3. Приравниваем аргументы: \( x^3 = 9x \).
\( x^3 - 9x = 0 \).
\( x(x^2 - 9) = 0 \).
\( x(x - 3)(x + 3) = 0 \).
4. Решаем и проверяем ОДЗ: Корни: \( x_1 = 0, x_2 = 3, x_3 = -3 \).
Подходит только \( x = 3 \) (так как \( x > 0 \)). Корни \( x=0 \) и \( x=-3 \) не входят в ОДЗ.

Ответ: \( x = 3 \).

Что применять при решении

Определение логарифма

Логарифмом положительного числа \( a \) по основанию \( b \), где \( b > 0 \) и \( b \neq 1 \), называется показатель степени \( c \), в которую нужно возвести основание \( b \), чтобы получить число \( a \).

\( \log_b a = c \iff b^c = a \quad (a > 0, b > 0, b \neq 1) \)

Область допустимых значений (ОДЗ) логарифма

Аргумент логарифма должен быть строго положительным. Для уравнения с логарифмами необходимо проверить, чтобы все аргументы \( f(x) \) логарифмов \( \log_b f(x) \) удовлетворяли условию \( f(x) > 0 \).

\( \log_b f(x) \implies f(x) > 0 \)

Свойства логарифмов (преобразование суммы и разности)

Сумма логарифмов с одинаковым основанием равна логарифму произведения их аргументов; разность — логарифму частного. При этом важно следить за равносильностью: преобразование суммы/разности в логарифм произведения/частного может расширить ОДЗ.

\( \log_b x + \log_b y = \log_b (xy) \) (при \( x > 0, y > 0 \)); \( \log_b x - \log_b y = \log_b \frac{x}{y} \) (при \( x > 0, y > 0 \))

Формула перехода к новому основанию

Позволяет переходить от логарифма по одному основанию к логарифму по другому основанию, что часто используется для приведения логарифмов к одному основанию или для замены переменной.

\( \log_b a = \frac{\log_c a}{\log_c b} \) и частный случай \( \log_b a = \frac{1}{\log_a b} \)

Задали создать проект?

Создай с помощью ИИ за 5 минут

До 90% уникальность

Готовый файл Word

15-30 страниц

Список источников по ГОСТ

Оформление по ГОСТ

Таблицы и схемы

Создать

Другие упражнения из параграфа § 19

336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353

Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.