ГДЗ: Упражнение 346 - § 19 (Логарифмические уравнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

• Уравнение (1): \( 2^{3x + 1} = 2^{-3} \). Это показательное уравнение.
• Уравнение (2): \( 3x + 1 = -3 \).

Переход от показательного уравнения \( a^{f(x)} = a^{g(x)} \) к алгебраическому \( f(x) = g(x) \) при \( a > 0, a \neq 1 \) является равносильным преобразованием. Область определения (ОДЗ) обоих уравнений — \( x \in \mathbb{R} \).

Вывод: Уравнения равносильны.

• Уравнение (1): \( \log_3 (x - 1) = 2 \). ОДЗ: \( x - 1 > 0 \), то есть \( x > 1 \).
• Уравнение (2): \( x - 1 = 9 \). ОДЗ: \( x \in \mathbb{R} \).

Переход от логарифмического уравнения \( \log_b f(x) = c \) к алгебраическому \( f(x) = b^c \) равносилен при условии \( f(x) > 0 \).

Так как \( x - 1 = 9 \), то \( x - 1 = 9 > 0 \) автоматически. То есть, корень уравнения \( x - 1 = 9 \) (\( x = 10 \)) удовлетворяет условию ОДЗ первого уравнения. В данном случае, оба уравнения имеют единственный корень \( x = 10 \).

Вывод: Уравнения равносильны.