Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 24 / Задание 442

ГДЗ: Упражнение 442 - § 24 (Знаки синуса, косинуса и тангенса) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 132, 133, 134, 135

Глава:	Глава 5
Параграф:	§ 24 - Знаки синуса, косинуса и тангенса
Учебник:	Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор:	Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год:	2025
Издание:

442 упражнение:

В какой четверти находится точка, полученная поворотом точки \( P(1; 0) \) на угол \(\alpha\), если:

1) \(\alpha = \frac{\pi}{6}\)

Шаг 1: Анализ угла.

Угол \(\alpha = \frac{\pi}{6}\) (или \(30^{\circ}\)) положительный, что соответствует повороту против часовой стрелки.

Шаг 2: Определение четверти.

Угол \(\frac{\pi}{6}\) находится в интервале \(0 < \alpha < \frac{\pi}{2}\).
Этот интервал соответствует I четверти.

Ответ: I четверть.

2) \(\alpha = \frac{3\pi}{4}\)

Шаг 1: Анализ угла.

Угол \(\alpha = \frac{3\pi}{4}\) положительный.

Шаг 2: Определение четверти.

Сравним \(\frac{3\pi}{4}\) с границами четвертей: \(\frac{\pi}{2} = \frac{2\pi}{4}\), \(\pi = \frac{4\pi}{4}\).
Угол \(\frac{3\pi}{4}\) находится в интервале \(\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi\), то есть \(\frac{2\pi}{4} < \frac{3\pi}{4} < \frac{4\pi}{4}\).
Этот интервал соответствует II четверти.

Ответ: II четверть.

3) \(\alpha = -\frac{3\pi}{4}\)

Шаг 1: Анализ угла.

Угол \(\alpha = -\frac{3\pi}{4}\) отрицательный, что соответствует повороту по часовой стрелке.

Шаг 2: Определение четверти.

При повороте по часовой стрелке:
\((0; -\frac{\pi}{2})\) — IV четверть.
\((-\frac{\pi}{2}; -\pi)\) — III четверть.
Угол \(\alpha = -\frac{3\pi}{4}\) находится в интервале \(-\pi < \alpha < -\frac{\pi}{2}\), так как \(-\pi = -\frac{4\pi}{4}\) и \(-\frac{\pi}{2} = -\frac{2\pi}{4}\), то \(-\frac{4\pi}{4} < -\frac{3\pi}{4} < -\frac{2\pi}{4}\).
Этот интервал соответствует III четверти.

Ответ: III четверть.

4) \(\alpha = -\frac{7\pi}{4}\)

Шаг 1: Приведение угла.

Угол \(\alpha = -\frac{7\pi}{4}\). Используем периодичность: \( -\frac{7\pi}{4} = -2\pi + \frac{\pi}{4} \).
Поворот на \(-2\pi\) возвращает точку в исходное положение \(P(1; 0)\).
Фактический поворот эквивалентен углу \(\alpha' = \frac{\pi}{4}\).

Шаг 2: Определение четверти.

Угол \(\alpha' = \frac{\pi}{4}\) находится в интервале \(0 < \alpha' < \frac{\pi}{2}\).
Этот интервал соответствует I четверти.

Ответ: I четверть.

5) \(\alpha = \frac{7\pi}{6}\)

Шаг 1: Анализ угла.

Угол \(\alpha = \frac{7\pi}{6}\) положительный.

Шаг 2: Определение четверти.

Сравним \(\frac{7\pi}{6}\) с границами четвертей: \(\pi = \frac{6\pi}{6}\), \(\frac{3\pi}{2} = \frac{9\pi}{6}\).
Угол \(\frac{7\pi}{6}\) находится в интервале \(\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}\), то есть \(\frac{6\pi}{6} < \frac{7\pi}{6} < \frac{9\pi}{6}\).
Этот интервал соответствует III четверти.

Ответ: III четверть.

6) \(\alpha = 4,8\)

Шаг 1: Анализ угла.

Угол \(\alpha = 4,8\) радиан. Необходимо сравнить его с границами четвертей, выраженными в радианах. Используем приближенное значение \(\pi \approx 3,14\).

Шаг 2: Определение четверти.

Границы четвертей:
\( \pi \approx 3,14 \) (конец II четверти)
\( \frac{3\pi}{2} \approx 1,5 \cdot 3,14 = 4,71 \) (конец III четверти)
\( 2\pi \approx 6,28 \) (конец IV четверти)
Угол \(\alpha = 4,8\) находится в интервале \(\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi\), так как \(4,71 < 4,8 < 6,28\).
Этот интервал соответствует IV четверти.

Ответ: IV четверть.

7) \(\alpha = -1,31\)

Шаг 1: Анализ угла.

Угол \(\alpha = -1,31\) радиан отрицательный (поворот по часовой стрелке).

Шаг 2: Определение четверти.

Границы четвертей для отрицательного угла:
\( -\frac{\pi}{2} \approx -1,57 \) (конец IV четверти)
\( -\pi \approx -3,14 \) (конец III четверти)
Угол \(\alpha = -1,31\) находится в интервале \(-\frac{\pi}{2} < \alpha < 0\), так как \(-1,57 < -1,31 < 0\).
Этот интервал соответствует IV четверти.

Ответ: IV четверть.

8) \(\alpha = -2,7\)

Шаг 1: Анализ угла.

Угол \(\alpha = -2,7\) радиан отрицательный.

Шаг 2: Определение четверти.

Границы четвертей для отрицательного угла:
\( -\frac{\pi}{2} \approx -1,57 \) (конец IV четверти)
\( -\pi \approx -3,14 \) (конец III четверти)
Угол \(\alpha = -2,7\) находится в интервале \(-\pi < \alpha < -\frac{\pi}{2}\), так как \(-3,14 < -2,7 < -1,57\).
Этот интервал соответствует III четверти.

Ответ: III четверть.

Что применять при решении

Знаки синуса (sin \(\alpha\))

Синус \(\sin \alpha\) — это ордината точки единичной окружности, полученной поворотом точки \((1; 0)\) на угол \(\alpha\). \nПоложителен в I и II четвертях \((0 < \alpha < \pi)\). Отрицателен в III и IV четвертях \((\pi < \alpha < 2\pi)\).

Знаки косинуса (cos \(\alpha\))

Косинус \(\cos \alpha\) — это абсцисса точки единичной окружности, полученной поворотом точки \((1; 0)\) на угол \(\alpha\). \nПоложителен в I и IV четвертях \((-\frac{\pi}{2} < \alpha < \frac{\pi}{2})\). Отрицателен во II и III четвертях \((\frac{\pi}{2} < \alpha < \frac{3\pi}{2})\).

Знаки тангенса (tg \(\alpha\)) и котангенса (ctg \(\alpha\))

Тангенс \(\text{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\) и котангенс \(\text{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}\) имеют одинаковые знаки. \nПоложительны в I и III четвертях (где \(\sin \alpha\) и \(\cos \alpha\) имеют одинаковые знаки). Отрицательны во II и IV четвертях (где \(\sin \alpha\) и \(\cos \alpha\) имеют разные знаки).

\( \text{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \); \( \text{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \)

Формулы приведения

Формулы, позволяющие выразить тригонометрические функции углов \(\frac{\pi}{2} \pm \alpha\), \(\pi \pm \alpha\), \(\frac{3\pi}{2} \pm \alpha\), \(2\pi \pm \alpha\) через функции угла \(\alpha\). \nКлючевые правила: 1. Функция меняется на кофункцию, если угол имеет вид \(\frac{\pi}{2} \pm \alpha\) или \(\frac{3\pi}{2} \pm \alpha\). 2. Знак определяется четвертью, в которую попадает исходный угол (считая, что \(\alpha\) - острый).

\( \sin (\pi - \alpha) = \sin \alpha \); \( \cos (\frac{\pi}{2} + \alpha) = -\sin \alpha \); \( \text{tg} (2\pi + \alpha) = \text{tg} \alpha \)

Периодичность тригонометрических функций

Функции \(\sin \alpha\), \(\cos \alpha\), \(\text{tg} \alpha\) и \(\text{ctg} \alpha\) являются периодическими. \nОсновной период для синуса и косинуса — \(2\pi\), для тангенса и котангенса — \(\pi\).

\( \sin (\alpha + 2\pi k) = \sin \alpha \); \( \cos (\alpha + 2\pi k) = \cos \alpha \); \( \text{tg} (\alpha + \pi k) = \text{tg} \alpha \); \( k \in \mathbb{Z} \)

Задали создать проект?

Создай с помощью ИИ за 5 минут

До 90% уникальность

Готовый файл Word

15-30 страниц

Список источников по ГОСТ

Оформление по ГОСТ

Таблицы и схемы

Другие упражнения из параграфа § 24

442 443 444 445 446 447 448 449 450 451 452 453 454 455

Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.