Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 24 / Задание 451

ГДЗ: Упражнение 451 - § 24 (Знаки синуса, косинуса и тангенса) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 132, 133, 134, 135
Глава: Глава 5
Параграф: § 24 - Знаки синуса, косинуса и тангенса
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

451 упражнение:

Найти значения углов, заключённых в промежутке от \( 0 \) до \( 2\pi \), знаки синуса и косинуса которых совпадают; различны.

1) Знаки синуса и косинуса совпадают

Шаг 1: Анализ условий.

  • Знаки \(\sin \alpha\) и \(\cos \alpha\) совпадают, когда они оба положительны или оба отрицательны.
  • Период рассмотрения: \( 0 \le \alpha < 2\pi \).

Шаг 2: Случай 1: \(\sin \alpha > 0\) и \(\cos \alpha > 0\).

  • Обе функции положительны в I четверти.
  • Интервал: \( 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} \).

Шаг 3: Случай 2: \(\sin \alpha < 0\) и \(\cos \alpha < 0\).

  • Обе функции отрицательны в III четверти.
  • Интервал: \( \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} \).

Шаг 4: Объединение результатов.

  • Знаки совпадают в интервалах: \( (0; \frac{\pi}{2}) \) и \( (\pi; \frac{3\pi}{2}) \).

Ответ: Знаки синуса и косинуса совпадают, если угол \(\alpha\) принадлежит \( (0; \frac{\pi}{2}) \cup (\pi; \frac{3\pi}{2}) \).

2) Знаки синуса и косинуса различны

Шаг 1: Анализ условий.

  • Знаки \(\sin \alpha\) и \(\cos \alpha\) различны, когда одна функция положительна, а другая отрицательна.
  • Период рассмотрения: \( 0 \le \alpha < 2\pi \).

Шаг 2: Случай 1: \(\sin \alpha > 0\) и \(\cos \alpha < 0\).

  • \(\sin \alpha\) положительна, \(\cos \alpha\) отрицательна в II четверти.
  • Интервал: \( \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi \).

Шаг 3: Случай 2: \(\sin \alpha < 0\) и \(\cos \alpha > 0\).

  • \(\sin \alpha\) отрицательна, \(\cos \alpha\) положительна в IV четверти.
  • Интервал: \( \frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi \).

Шаг 4: Объединение результатов.

  • Знаки различны в интервалах: \( (\frac{\pi}{2}; \pi) \) и \( (\frac{3\pi}{2}; 2\pi) \).

Ответ: Знаки синуса и косинуса различны, если угол \(\alpha\) принадлежит \( (\frac{\pi}{2}; \pi) \cup (\frac{3\pi}{2}; 2\pi) \).

Что применять при решении

Знаки синуса (sin \(\alpha\))
Синус \(\sin \alpha\) — это ордината точки единичной окружности, полученной поворотом точки \((1; 0)\) на угол \(\alpha\). \nПоложителен в I и II четвертях \((0 < \alpha < \pi)\). Отрицателен в III и IV четвертях \((\pi < \alpha < 2\pi)\).
Знаки косинуса (cos \(\alpha\))
Косинус \(\cos \alpha\) — это абсцисса точки единичной окружности, полученной поворотом точки \((1; 0)\) на угол \(\alpha\). \nПоложителен в I и IV четвертях \((-\frac{\pi}{2} < \alpha < \frac{\pi}{2})\). Отрицателен во II и III четвертях \((\frac{\pi}{2} < \alpha < \frac{3\pi}{2})\).
Знаки тангенса (tg \(\alpha\)) и котангенса (ctg \(\alpha\))
Тангенс \(\text{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\) и котангенс \(\text{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}\) имеют одинаковые знаки. \nПоложительны в I и III четвертях (где \(\sin \alpha\) и \(\cos \alpha\) имеют одинаковые знаки). Отрицательны во II и IV четвертях (где \(\sin \alpha\) и \(\cos \alpha\) имеют разные знаки).
\( \text{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \); \( \text{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \)
Формулы приведения
Формулы, позволяющие выразить тригонометрические функции углов \(\frac{\pi}{2} \pm \alpha\), \(\pi \pm \alpha\), \(\frac{3\pi}{2} \pm \alpha\), \(2\pi \pm \alpha\) через функции угла \(\alpha\). \nКлючевые правила: 1. Функция меняется на кофункцию, если угол имеет вид \(\frac{\pi}{2} \pm \alpha\) или \(\frac{3\pi}{2} \pm \alpha\). 2. Знак определяется четвертью, в которую попадает исходный угол (считая, что \(\alpha\) - острый).
\( \sin (\pi - \alpha) = \sin \alpha \); \( \cos (\frac{\pi}{2} + \alpha) = -\sin \alpha \); \( \text{tg} (2\pi + \alpha) = \text{tg} \alpha \)
Периодичность тригонометрических функций
Функции \(\sin \alpha\), \(\cos \alpha\), \(\text{tg} \alpha\) и \(\text{ctg} \alpha\) являются периодическими. \nОсновной период для синуса и косинуса — \(2\pi\), для тангенса и котангенса — \(\pi\).
\( \sin (\alpha + 2\pi k) = \sin \alpha \); \( \cos (\alpha + 2\pi k) = \cos \alpha \); \( \text{tg} (\alpha + \pi k) = \text{tg} \alpha \); \( k \in \mathbb{Z} \)

Задали создать проект?

Создай с помощью ИИ за 5 минут

До 90% уникальность
Готовый файл Word
15-30 страниц
Список источников по ГОСТ
Оформление по ГОСТ
Таблицы и схемы

Другие упражнения из параграфа § 24

442 443 444 445 446 447 448 449 450 451 452 453 454 455
Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.