Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 24 / Задание 444

ГДЗ: Упражнение 444 - § 24 (Знаки синуса, косинуса и тангенса) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 132, 133, 134, 135

Глава:	Глава 5
Параграф:	§ 24 - Знаки синуса, косинуса и тангенса
Учебник:	Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор:	Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год:	2025
Издание:

444 упражнение:

Определить знак числа \(\sin \alpha\), если:

1) \(\alpha = \frac{5\pi}{4}\)

Шаг 1: Определение четверти.

Разделим \(\frac{5\pi}{4}\) на части: \( \frac{5\pi}{4} = \pi + \frac{\pi}{4} \).
Угол находится в интервале \( \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} \).
Это III четверть.

Шаг 2: Определение знака синуса.

В III четверти ордината \(\sin \alpha\) отрицательна.

Ответ: \(\sin \frac{5\pi}{4} < 0\) (отрицательный).

2) \(\alpha = -\frac{33\pi}{7}\)

Шаг 1: Приведение угла.

Угол \(\alpha = -\frac{33\pi}{7}\). Выделим целое число оборотов \(2\pi k\):
\( -\frac{33\pi}{7} = -\frac{28\pi + 5\pi}{7} = -\frac{28\pi}{7} - \frac{5\pi}{7} = -4\pi - \frac{5\pi}{7} \).
Угол эквивалентен \(\alpha' = -\frac{5\pi}{7}\) (так как \(-4\pi\) — два полных оборота).

Шаг 2: Определение четверти для \(\alpha'\).

\(\alpha'\) отрицателен (поворот по часовой стрелке). Сравним с границами:
\( -\pi = -\frac{7\pi}{7} \)
\( -\frac{\pi}{2} = -\frac{3,5\pi}{7} \)
Угол \(-\frac{5\pi}{7}\) находится в интервале \( -\pi < -\frac{5\pi}{7} < -\frac{\pi}{2} \).
Этот интервал соответствует III четверти.

Шаг 3: Определение знака синуса.

В III четверти \(\sin \alpha\) отрицателен.

Ответ: \(\sin (-\frac{33\pi}{7}) < 0\) (отрицательный).

3) \(\alpha = -\frac{4\pi}{3}\)

Шаг 1: Приведение угла.

Угол \(\alpha = -\frac{4\pi}{3}\). Угол отрицательный. Прибавим \(2\pi\):
\( -\frac{4\pi}{3} + 2\pi = -\frac{4\pi}{3} + \frac{6\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} \).
Угол эквивалентен \(\alpha' = \frac{2\pi}{3}\).

Шаг 2: Определение четверти для \(\alpha'\).

Сравним \(\frac{2\pi}{3}\) с границами: \(\frac{\pi}{2} = \frac{1,5\pi}{3}\), \(\pi = \frac{3\pi}{3}\).
Угол находится в интервале \( \frac{\pi}{2} < \alpha' < \pi \).
Это II четверть.

Шаг 3: Определение знака синуса.

Во II четверти \(\sin \alpha\) положителен.

Ответ: \(\sin (-\frac{4\pi}{3}) > 0\) (положительный).

4) \(\alpha = -0,1\pi\)

Шаг 1: Определение четверти.

Угол \(\alpha = -0,1\pi\) отрицательный.
Он находится в интервале \( -\frac{\pi}{2} < \alpha < 0 \), так как \( -0,5\pi < -0,1\pi < 0 \).
Это IV четверть.

Шаг 2: Определение знака синуса.

В IV четверти \(\sin \alpha\) отрицателен.

Ответ: \(\sin (-0,1\pi) < 0\) (отрицательный).

5) \(\alpha = 5,1\)

Шаг 1: Анализ угла.

Угол \(\alpha = 5,1\) радиан. Используем приближенные границы \(\pi \approx 3,14\), \(\frac{3\pi}{2} \approx 4,71\), \(2\pi \approx 6,28\).

Шаг 2: Определение четверти.

Угол \(5,1\) находится в интервале \( \frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi \), так как \( 4,71 < 5,1 < 6,28 \).
Это IV четверть.

Шаг 3: Определение знака синуса.

В IV четверти \(\sin \alpha\) отрицателен.

Ответ: \(\sin 5,1 < 0\) (отрицательный).

6) \(\alpha = -470^{\circ}\)

Шаг 1: Приведение угла.

Угол \(\alpha = -470^{\circ}\). Выделим целое число оборотов:
\( -470^{\circ} = -360^{\circ} - 110^{\circ} \).
Угол эквивалентен \(\alpha' = -110^{\circ}\) (поворот по часовой стрелке).

Шаг 2: Определение четверти для \(\alpha'\).

При повороте по часовой стрелке:
\((0^{\circ}; -90^{\circ})\) — IV четверть.
\((-90^{\circ}; -180^{\circ})\) — III четверть.
Угол \(\alpha' = -110^{\circ}\) находится в интервале \( -180^{\circ} < \alpha' < -90^{\circ} \).
Это III четверть.

Шаг 3: Определение знака синуса.

В III четверти \(\sin \alpha\) отрицателен.

Ответ: \(\sin (-470^{\circ}) < 0\) (отрицательный).

Что применять при решении

Знаки синуса (sin \(\alpha\))

Синус \(\sin \alpha\) — это ордината точки единичной окружности, полученной поворотом точки \((1; 0)\) на угол \(\alpha\). \nПоложителен в I и II четвертях \((0 < \alpha < \pi)\). Отрицателен в III и IV четвертях \((\pi < \alpha < 2\pi)\).

Знаки косинуса (cos \(\alpha\))

Косинус \(\cos \alpha\) — это абсцисса точки единичной окружности, полученной поворотом точки \((1; 0)\) на угол \(\alpha\). \nПоложителен в I и IV четвертях \((-\frac{\pi}{2} < \alpha < \frac{\pi}{2})\). Отрицателен во II и III четвертях \((\frac{\pi}{2} < \alpha < \frac{3\pi}{2})\).

Знаки тангенса (tg \(\alpha\)) и котангенса (ctg \(\alpha\))

Тангенс \(\text{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\) и котангенс \(\text{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}\) имеют одинаковые знаки. \nПоложительны в I и III четвертях (где \(\sin \alpha\) и \(\cos \alpha\) имеют одинаковые знаки). Отрицательны во II и IV четвертях (где \(\sin \alpha\) и \(\cos \alpha\) имеют разные знаки).

\( \text{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \); \( \text{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \)

Формулы приведения

Формулы, позволяющие выразить тригонометрические функции углов \(\frac{\pi}{2} \pm \alpha\), \(\pi \pm \alpha\), \(\frac{3\pi}{2} \pm \alpha\), \(2\pi \pm \alpha\) через функции угла \(\alpha\). \nКлючевые правила: 1. Функция меняется на кофункцию, если угол имеет вид \(\frac{\pi}{2} \pm \alpha\) или \(\frac{3\pi}{2} \pm \alpha\). 2. Знак определяется четвертью, в которую попадает исходный угол (считая, что \(\alpha\) - острый).

\( \sin (\pi - \alpha) = \sin \alpha \); \( \cos (\frac{\pi}{2} + \alpha) = -\sin \alpha \); \( \text{tg} (2\pi + \alpha) = \text{tg} \alpha \)

Периодичность тригонометрических функций

Функции \(\sin \alpha\), \(\cos \alpha\), \(\text{tg} \alpha\) и \(\text{ctg} \alpha\) являются периодическими. \nОсновной период для синуса и косинуса — \(2\pi\), для тангенса и котангенса — \(\pi\).

\( \sin (\alpha + 2\pi k) = \sin \alpha \); \( \cos (\alpha + 2\pi k) = \cos \alpha \); \( \text{tg} (\alpha + \pi k) = \text{tg} \alpha \); \( k \in \mathbb{Z} \)

Задали создать проект?

Создай с помощью ИИ за 5 минут

До 90% уникальность

Готовый файл Word

15-30 страниц

Список источников по ГОСТ

Оформление по ГОСТ

Таблицы и схемы

Создать

Другие упражнения из параграфа § 24

442 443 444 445 446 447 448 449 450 451 452 453 454 455

Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.