ГДЗ: Упражнение 455 - § 24 (Знаки синуса, косинуса и тангенса) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Шаг 1: Анализ условий.

• Дано: \( \sin \alpha + \cos \alpha = -1,4 \).
• Сумма двух чисел отрицательна, что возможно, если хотя бы одно из них отрицательно.

Шаг 2: Ограничения по значению.

• Поскольку \( \sin \alpha \ge -1 \) и \( \cos \alpha \ge -1 \), наименьшее возможное значение суммы равно \(-2\) (при \(\alpha = \pi\), где \(\sin \pi = 0, \cos \pi = -1\); или \(\alpha = \frac{3\pi}{2}\), где \(\sin \frac{3\pi}{2} = -1, \cos \frac{3\pi}{2} = 0\)).
• Для достижения значения \(-1,4\), оба слагаемых должны быть отрицательными или одно должно быть отрицательным, а другое — положительным (или нулем), при этом отрицательное должно быть больше по модулю.

Шаг 3: Проверка четвертей.

• I четверть: \(\sin \alpha > 0, \cos \alpha > 0\). Сумма положительна. Не подходит.
• II четверть: \(\sin \alpha > 0, \cos \alpha < 0\). Сумма может быть отрицательной (например, \(\sin \frac{2\pi}{3} \approx 0,866, \cos \frac{2\pi}{3} = -0,5\), сумма \(0,366\)). Не подходит для \(-1,4\), так как для суммы \(-1,4\), \(\cos \alpha\) должен быть сильно отрицательным, а \(\sin \alpha\) — положительным, но \(\sin \alpha \le 1\), поэтому \(\cos \alpha\) должно быть меньше \(-2,4\), что невозможно. Следовательно, не подходит.
• IV четверть: \(\sin \alpha < 0, \cos \alpha > 0\). Аналогично II четверти. \(\cos \alpha \le 1\), поэтому \(\sin \alpha\) должно быть меньше \(-2,4\), что невозможно. Следовательно, не подходит.
• III четверть: \(\sin \alpha < 0, \cos \alpha < 0\). Сумма отрицательна.
  Например, при \(\alpha = \frac{5\pi}{4}\) (середина III четверти), \( \sin \frac{5\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} \approx -0,707 \), \( \cos \frac{5\pi}{4} \approx -0,707 \).
  Сумма: \(-0,707 + (-0,707) = -1,414\). Это очень близко к \(-1,4\).

Вывод: Единственная четверть, где оба слагаемых отрицательны, и их сумма может достигать значения, близкого к \(-1,4\), — это III четверть.

Ответ: III четверть.

Шаг 1: Анализ условий.

• Дано: \( \sin \alpha - \cos \alpha = 1,4 \).
• Сумма \(\sin \alpha + (-\cos \alpha) = 1,4\). Поскольку \( \sin \alpha \le 1 \) и \( \cos \alpha \ge -1 \), то \( -\cos \alpha \le 1 \).
• Максимальное значение выражения: \( 1 - (-1) = 2 \) (например, \(\sin \frac{\pi}{2} - \cos \frac{\pi}{2} = 1 - 0 = 1\), или \( \sin (\frac{3\pi}{4}) - \cos (\frac{3\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} - (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \sqrt{2} \approx 1,414 \)).

Шаг 2: Проверка четвертей.

• Для того чтобы разность была положительной и большой (\(1,4\)), \(\sin \alpha\) должно быть положительным, а \(\cos \alpha\) — отрицательным, или \(\sin \alpha\) должно быть сильно положительным, а \(\cos \alpha\) — слабо положительным.
• I четверть: \(\sin \alpha > 0, \cos \alpha > 0\). Разность может быть от \(-1\) до \(1\). \(\sin \alpha - \cos \alpha = 1,4\) невозможно.
• III четверть: \(\sin \alpha < 0, \cos \alpha < 0\). Разность: \( (-) - (-) = - + \). Может быть положительной или отрицательной. Но \(\sin \alpha \le 0\), а \( -\cos \alpha \ge 0 \). Сумма: \( \sin \alpha + |\cos \alpha| \). Максимум: \( 0 + 1 = 1 \) (\(\alpha = \pi\)). \(\sin \alpha - \cos \alpha = 1,4\) невозможно.
• IV четверть: \(\sin \alpha < 0, \cos \alpha > 0\). Разность: \( (-) - (+) = (-) \). Всегда отрицательна. Не подходит.
• II четверть: \(\sin \alpha > 0, \cos \alpha < 0\). Разность: \( (+) - (-) = (+) \).
  В этой четверти \(\sin \alpha\) положительно, а \(\cos \alpha\) отрицательно. Разность \(\sin \alpha - \cos \alpha = \sin \alpha + |\cos \alpha|\) будет положительной и наибольшей.
  Например, при \(\alpha = \frac{3\pi}{4}\), разность \( \frac{\sqrt{2}}{2} - (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \sqrt{2} \approx 1,414 \). Это удовлетворяет условию.

Вывод: Единственная четверть, где \(\sin \alpha > 0\) и \(\cos \alpha < 0\), и их разность может достигать значения \(1,4\), — это II четверть.

Ответ: II четверть.