Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 24 / Задание 449

ГДЗ: Упражнение 449 - § 24 (Знаки синуса, косинуса и тангенса) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 132, 133, 134, 135

Глава:	Глава 5
Параграф:	§ 24 - Знаки синуса, косинуса и тангенса
Учебник:	Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор:	Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год:	2025
Издание:

449 упражнение:

Пусть \( 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} \). Определить знак числа:

1) \(\sin (\pi - \alpha)\)

Шаг 1: Определение четверти.

Поскольку \( 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} \), угол \(\pi - \alpha\) лежит в интервале \( \frac{\pi}{2} < \pi - \alpha < \pi \) (см. 443.1).
Это II четверть.

Шаг 2: Определение знака синуса.

В II четверти \(\sin \alpha\) положителен. (По формуле приведения: \( \sin (\pi - \alpha) = \sin \alpha > 0 \)).

Ответ: Положительный.

2) \(\cos (\frac{\pi}{2} + \alpha)\)

Шаг 1: Определение четверти.

Поскольку \( 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} \), угол \(\frac{\pi}{2} + \alpha\) лежит в интервале \( \frac{\pi}{2} < \frac{\pi}{2} + \alpha < \pi \) (см. 443.4).
Это II четверть.

Шаг 2: Определение знака косинуса.

В II четверти \(\cos \alpha\) отрицателен. (По формуле приведения: \( \cos (\frac{\pi}{2} + \alpha) = -\sin \alpha \). Так как \(\alpha\) в I четверти, \(\sin \alpha > 0\), следовательно, \( -\sin \alpha < 0 \)).

Ответ: Отрицательный.

3) \(\cos (\alpha - \pi)\)

Шаг 1: Преобразование угла.

Используем свойство четности косинуса: \( \cos (\alpha - \pi) = \cos (-( \pi - \alpha )) = \cos (\pi - \alpha) \).

Шаг 2: Определение четверти.

Поскольку \( 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} \), угол \( \pi - \alpha \) лежит в II четверти (см. 443.1).

Шаг 3: Определение знака косинуса.

Во II четверти \(\cos \alpha\) отрицателен. (По формуле приведения: \( \cos (\pi - \alpha) = -\cos \alpha \). Так как \(\alpha\) в I четверти, \(\cos \alpha > 0\), следовательно, \( -\cos \alpha < 0 \)).

Ответ: Отрицательный.

4) \(\text{tg} (\frac{\pi}{2} - \alpha)\)

Шаг 1: Определение четверти.

Поскольку \( 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} \), угол \(\frac{\pi}{2} - \alpha\) лежит в интервале \( 0 < \frac{\pi}{2} - \alpha < \frac{\pi}{2} \) (см. 443.5).
Это I четверть.

Шаг 2: Определение знака тангенса.

В I четверти \(\text{tg} \alpha\) положителен. (По формуле приведения: \( \text{tg} (\frac{\pi}{2} - \alpha) = \text{ctg} \alpha \). Так как \(\alpha\) в I четверти, \(\text{ctg} \alpha > 0 \)).

Ответ: Положительный.

5) \(\text{tg} (\frac{3\pi}{2} - \alpha)\)

Шаг 1: Определение четверти.

Поскольку \( 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} \), угол \(\frac{3\pi}{2} - \alpha\) лежит в интервале \( \pi < \frac{3\pi}{2} - \alpha < \frac{3\pi}{2} \) (см. 443.3).
Это III четверть.

Шаг 2: Определение знака тангенса.

В III четверти \(\text{tg} \alpha\) положителен. (По формуле приведения: \( \text{tg} (\frac{3\pi}{2} - \alpha) = \text{ctg} \alpha \). Так как \(\alpha\) в I четверти, \(\text{ctg} \alpha > 0 \)).

Ответ: Положительный.

6) \(\sin (\pi - \alpha)\)

Шаг 1: Определение четверти.

Поскольку \( 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} \), угол \(\pi - \alpha\) лежит в интервале \( \frac{\pi}{2} < \pi - \alpha < \pi \) (см. 443.1).
Это II четверть.

Шаг 2: Определение знака синуса.

В II четверти \(\sin \alpha\) положителен. (По формуле приведения: \( \sin (\pi - \alpha) = \sin \alpha \). Так как \(\alpha\) в I четверти, \(\sin \alpha > 0 \)).

Ответ: Положительный.

Что применять при решении

Знаки синуса (sin \(\alpha\))

Синус \(\sin \alpha\) — это ордината точки единичной окружности, полученной поворотом точки \((1; 0)\) на угол \(\alpha\). \nПоложителен в I и II четвертях \((0 < \alpha < \pi)\). Отрицателен в III и IV четвертях \((\pi < \alpha < 2\pi)\).

Знаки косинуса (cos \(\alpha\))

Косинус \(\cos \alpha\) — это абсцисса точки единичной окружности, полученной поворотом точки \((1; 0)\) на угол \(\alpha\). \nПоложителен в I и IV четвертях \((-\frac{\pi}{2} < \alpha < \frac{\pi}{2})\). Отрицателен во II и III четвертях \((\frac{\pi}{2} < \alpha < \frac{3\pi}{2})\).

Знаки тангенса (tg \(\alpha\)) и котангенса (ctg \(\alpha\))

Тангенс \(\text{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\) и котангенс \(\text{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}\) имеют одинаковые знаки. \nПоложительны в I и III четвертях (где \(\sin \alpha\) и \(\cos \alpha\) имеют одинаковые знаки). Отрицательны во II и IV четвертях (где \(\sin \alpha\) и \(\cos \alpha\) имеют разные знаки).

\( \text{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \); \( \text{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \)

Формулы приведения

Формулы, позволяющие выразить тригонометрические функции углов \(\frac{\pi}{2} \pm \alpha\), \(\pi \pm \alpha\), \(\frac{3\pi}{2} \pm \alpha\), \(2\pi \pm \alpha\) через функции угла \(\alpha\). \nКлючевые правила: 1. Функция меняется на кофункцию, если угол имеет вид \(\frac{\pi}{2} \pm \alpha\) или \(\frac{3\pi}{2} \pm \alpha\). 2. Знак определяется четвертью, в которую попадает исходный угол (считая, что \(\alpha\) - острый).

\( \sin (\pi - \alpha) = \sin \alpha \); \( \cos (\frac{\pi}{2} + \alpha) = -\sin \alpha \); \( \text{tg} (2\pi + \alpha) = \text{tg} \alpha \)

Периодичность тригонометрических функций

Функции \(\sin \alpha\), \(\cos \alpha\), \(\text{tg} \alpha\) и \(\text{ctg} \alpha\) являются периодическими. \nОсновной период для синуса и косинуса — \(2\pi\), для тангенса и котангенса — \(\pi\).

\( \sin (\alpha + 2\pi k) = \sin \alpha \); \( \cos (\alpha + 2\pi k) = \cos \alpha \); \( \text{tg} (\alpha + \pi k) = \text{tg} \alpha \); \( k \in \mathbb{Z} \)

Задали создать проект?

Создай с помощью ИИ за 5 минут

До 90% уникальность

Готовый файл Word

15-30 страниц

Список источников по ГОСТ

Оформление по ГОСТ

Таблицы и схемы

Создать

Другие упражнения из параграфа § 24

442 443 444 445 446 447 448 449 450 451 452 453 454 455

Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.