Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 24 / Задание 447

ГДЗ: Упражнение 447 - § 24 (Знаки синуса, косинуса и тангенса) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 132, 133, 134, 135
Глава: Глава 5
Параграф: § 24 - Знаки синуса, косинуса и тангенса
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

447 упражнение:

Определить знаки чисел \(\sin \alpha\), \(\cos \alpha\), \(\text{tg} \alpha\), если:

1) \(\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}\)

Шаг 1: Определение четверти.

  • Интервал \( \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} \) соответствует III четверти.

Шаг 2: Определение знаков.

  • В III четверти:
    \(\sin \alpha\) (ордината) — отрицателен.
    \(\cos \alpha\) (абсцисса) — отрицателен.
    \(\text{tg} \alpha\) (отношение отрицательных чисел) — положителен.

Ответ: \(\sin \alpha < 0\), \(\cos \alpha < 0\), \(\text{tg} \alpha > 0\).

2) \(\frac{3\pi}{2} < \alpha < \frac{7\pi}{4}\)

Шаг 1: Определение четверти.

  • Интервал \( \frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi \) (так как \( \frac{7\pi}{4} = 1,75\pi < 2\pi \)) соответствует IV четверти.

Шаг 2: Определение знаков.

  • В IV четверти:
    \(\sin \alpha\) (ордината) — отрицателен.
    \(\cos \alpha\) (абсцисса) — положителен.
    \(\text{tg} \alpha\) (отношение отрицательного к положительному) — отрицателен.

Ответ: \(\sin \alpha < 0\), \(\cos \alpha > 0\), \(\text{tg} \alpha < 0\).

3) \(\frac{7\pi}{4} < \alpha < 2\pi\)

Шаг 1: Определение четверти.

  • Интервал \( \frac{7\pi}{4} = 1,75\pi \). Поскольку \( \frac{7\pi}{4} \) находится в IV четверти и угол \(\alpha\) не достигает \(2\pi\), интервал \( \frac{7\pi}{4} < \alpha < 2\pi \) находится в IV четверти.

Шаг 2: Определение знаков.

  • В IV четверти:
    \(\sin \alpha\) (ордината) — отрицателен.
    \(\cos \alpha\) (абсцисса) — положителен.
    \(\text{tg} \alpha\) — отрицателен.

Ответ: \(\sin \alpha < 0\), \(\cos \alpha > 0\), \(\text{tg} \alpha < 0\).

4) \(\( 2\pi < \alpha < 2,5\pi \)

Шаг 1: Определение четверти.

  • Угол \(\alpha\) находится в интервале \( 2\pi < \alpha < 2\pi + \frac{\pi}{2} \).
  • Вычтем полный оборот \(2\pi\). Получаем угол \(\alpha' = \alpha - 2\pi\), который лежит в интервале \( 0 < \alpha' < \frac{\pi}{2} \).
  • Этот интервал соответствует I четверти.

Шаг 2: Определение знаков.

  • В I четверти:
    \(\sin \alpha\) (ордината) — положителен.
    \(\cos \alpha\) (абсцисса) — положителен.
    \(\text{tg} \alpha\) — положителен.

Ответ: \(\sin \alpha > 0\), \(\cos \alpha > 0\), \(\text{tg} \alpha > 0\).

Что применять при решении

Знаки синуса (sin \(\alpha\))
Синус \(\sin \alpha\) — это ордината точки единичной окружности, полученной поворотом точки \((1; 0)\) на угол \(\alpha\). \nПоложителен в I и II четвертях \((0 < \alpha < \pi)\). Отрицателен в III и IV четвертях \((\pi < \alpha < 2\pi)\).
Знаки косинуса (cos \(\alpha\))
Косинус \(\cos \alpha\) — это абсцисса точки единичной окружности, полученной поворотом точки \((1; 0)\) на угол \(\alpha\). \nПоложителен в I и IV четвертях \((-\frac{\pi}{2} < \alpha < \frac{\pi}{2})\). Отрицателен во II и III четвертях \((\frac{\pi}{2} < \alpha < \frac{3\pi}{2})\).
Знаки тангенса (tg \(\alpha\)) и котангенса (ctg \(\alpha\))
Тангенс \(\text{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\) и котангенс \(\text{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}\) имеют одинаковые знаки. \nПоложительны в I и III четвертях (где \(\sin \alpha\) и \(\cos \alpha\) имеют одинаковые знаки). Отрицательны во II и IV четвертях (где \(\sin \alpha\) и \(\cos \alpha\) имеют разные знаки).
\( \text{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \); \( \text{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \)
Формулы приведения
Формулы, позволяющие выразить тригонометрические функции углов \(\frac{\pi}{2} \pm \alpha\), \(\pi \pm \alpha\), \(\frac{3\pi}{2} \pm \alpha\), \(2\pi \pm \alpha\) через функции угла \(\alpha\). \nКлючевые правила: 1. Функция меняется на кофункцию, если угол имеет вид \(\frac{\pi}{2} \pm \alpha\) или \(\frac{3\pi}{2} \pm \alpha\). 2. Знак определяется четвертью, в которую попадает исходный угол (считая, что \(\alpha\) - острый).
\( \sin (\pi - \alpha) = \sin \alpha \); \( \cos (\frac{\pi}{2} + \alpha) = -\sin \alpha \); \( \text{tg} (2\pi + \alpha) = \text{tg} \alpha \)
Периодичность тригонометрических функций
Функции \(\sin \alpha\), \(\cos \alpha\), \(\text{tg} \alpha\) и \(\text{ctg} \alpha\) являются периодическими. \nОсновной период для синуса и косинуса — \(2\pi\), для тангенса и котангенса — \(\pi\).
\( \sin (\alpha + 2\pi k) = \sin \alpha \); \( \cos (\alpha + 2\pi k) = \cos \alpha \); \( \text{tg} (\alpha + \pi k) = \text{tg} \alpha \); \( k \in \mathbb{Z} \)

Задали создать проект?

Создай с помощью ИИ за 5 минут

До 90% уникальность
Готовый файл Word
15-30 страниц
Список источников по ГОСТ
Оформление по ГОСТ
Таблицы и схемы

Другие упражнения из параграфа § 24

442 443 444 445 446 447 448 449 450 451 452 453 454 455
Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.