Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 24 / Задание 445

ГДЗ: Упражнение 445 - § 24 (Знаки синуса, косинуса и тангенса) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 132, 133, 134, 135
Глава: Глава 5
Параграф: § 24 - Знаки синуса, косинуса и тангенса
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

445 упражнение:

Определить знак числа \(\cos \alpha\), если:

1) \(\alpha = 2\pi\)

Шаг 1: Определение четверти.

  • Угол \(\alpha = 2\pi\) соответствует полному обороту и попадает на положительную часть оси абсцисс.
  • Это граница между IV и I четвертями.

Шаг 2: Определение знака косинуса.

  • \(\cos 2\pi\) — абсцисса точки \((1; 0)\).
  • \(\cos 2\pi = 1\).

Ответ: \(\cos 2\pi > 0\) (положительный, фактически, равно 1).

2) \(\alpha = \frac{7\pi}{4}\)

Шаг 1: Определение четверти.

  • Разделим \(\frac{7\pi}{4}\) на части: \( \frac{7\pi}{4} = 2\pi - \frac{\pi}{4} \).
  • Угол находится в интервале \( \frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi \).
  • Это IV четверть.

Шаг 2: Определение знака косинуса.

  • В IV четверти абсцисса \(\cos \alpha\) положительна.

Ответ: \(\cos \frac{7\pi}{4} > 0\) (положительный).

3) \(\alpha = -\frac{2\pi}{5}\)

Шаг 1: Определение четверти.

  • Угол \(\alpha = -\frac{2\pi}{5}\) отрицательный (поворот по часовой стрелке).
  • Сравним с границами: \( -\frac{\pi}{2} = -\frac{2,5\pi}{5} \).
  • Угол находится в интервале \( -\frac{\pi}{2} < \alpha < 0 \), так как \( -\frac{2,5\pi}{5} < -\frac{2\pi}{5} < 0 \).
  • Это IV четверть.

Шаг 2: Определение знака косинуса.

  • В IV четверти \(\cos \alpha\) положителен.

Ответ: \(\cos (-\frac{2\pi}{5}) > 0\) (положительный).

4) \(\alpha = 4,6\)

Шаг 1: Анализ угла.

  • Угол \(\alpha = 4,6\) радиан. Используем приближенные границы \(\pi \approx 3,14\), \(\frac{3\pi}{2} \approx 4,71\).

Шаг 2: Определение четверти.

  • Угол \(4,6\) находится в интервале \( \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} \), так как \( 3,14 < 4,6 < 4,71 \).
  • Это III четверть.

Шаг 3: Определение знака косинуса.

  • В III четверти абсцисса \(\cos \alpha\) отрицательна.

Ответ: \(\cos 4,6 < 0\) (отрицательный).

5) \(\alpha = -5,3\)

Шаг 1: Приведение угла.

  • Угол \(\alpha = -5,3\) радиан. Прибавим \(2\pi \approx 6,28\):
    \( -5,3 + 2\pi \approx -5,3 + 6,28 = 0,98 \).
  • Угол эквивалентен \(\alpha' \approx 0,98\) радиан.

Шаг 2: Определение четверти для \(\alpha'\).

  • Сравним \(\alpha' \approx 0,98\) с границами:
    \( 0 < 0,98 < \frac{\pi}{2} \approx 1,57 \).
  • Это I четверть.

Шаг 3: Определение знака косинуса.

  • В I четверти \(\cos \alpha\) положителен.

Ответ: \(\cos (-5,3) > 0\) (положительный).

6) \(\alpha = -150^{\circ}\)

Шаг 1: Определение четверти.

  • Угол \(\alpha = -150^{\circ}\) отрицательный (поворот по часовой стрелке).
  • Он находится в интервале \( -180^{\circ} < \alpha < -90^{\circ} \).
  • Это III четверть.

Шаг 2: Определение знака косинуса.

  • В III четверти \(\cos \alpha\) отрицателен.

Ответ: \(\cos (-150^{\circ}) < 0\) (отрицательный).

Что применять при решении

Знаки синуса (sin \(\alpha\))
Синус \(\sin \alpha\) — это ордината точки единичной окружности, полученной поворотом точки \((1; 0)\) на угол \(\alpha\). \nПоложителен в I и II четвертях \((0 < \alpha < \pi)\). Отрицателен в III и IV четвертях \((\pi < \alpha < 2\pi)\).
Знаки косинуса (cos \(\alpha\))
Косинус \(\cos \alpha\) — это абсцисса точки единичной окружности, полученной поворотом точки \((1; 0)\) на угол \(\alpha\). \nПоложителен в I и IV четвертях \((-\frac{\pi}{2} < \alpha < \frac{\pi}{2})\). Отрицателен во II и III четвертях \((\frac{\pi}{2} < \alpha < \frac{3\pi}{2})\).
Знаки тангенса (tg \(\alpha\)) и котангенса (ctg \(\alpha\))
Тангенс \(\text{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\) и котангенс \(\text{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}\) имеют одинаковые знаки. \nПоложительны в I и III четвертях (где \(\sin \alpha\) и \(\cos \alpha\) имеют одинаковые знаки). Отрицательны во II и IV четвертях (где \(\sin \alpha\) и \(\cos \alpha\) имеют разные знаки).
\( \text{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \); \( \text{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \)
Формулы приведения
Формулы, позволяющие выразить тригонометрические функции углов \(\frac{\pi}{2} \pm \alpha\), \(\pi \pm \alpha\), \(\frac{3\pi}{2} \pm \alpha\), \(2\pi \pm \alpha\) через функции угла \(\alpha\). \nКлючевые правила: 1. Функция меняется на кофункцию, если угол имеет вид \(\frac{\pi}{2} \pm \alpha\) или \(\frac{3\pi}{2} \pm \alpha\). 2. Знак определяется четвертью, в которую попадает исходный угол (считая, что \(\alpha\) - острый).
\( \sin (\pi - \alpha) = \sin \alpha \); \( \cos (\frac{\pi}{2} + \alpha) = -\sin \alpha \); \( \text{tg} (2\pi + \alpha) = \text{tg} \alpha \)
Периодичность тригонометрических функций
Функции \(\sin \alpha\), \(\cos \alpha\), \(\text{tg} \alpha\) и \(\text{ctg} \alpha\) являются периодическими. \nОсновной период для синуса и косинуса — \(2\pi\), для тангенса и котангенса — \(\pi\).
\( \sin (\alpha + 2\pi k) = \sin \alpha \); \( \cos (\alpha + 2\pi k) = \cos \alpha \); \( \text{tg} (\alpha + \pi k) = \text{tg} \alpha \); \( k \in \mathbb{Z} \)

Задали создать проект?

Создай с помощью ИИ за 5 минут

До 90% уникальность
Готовый файл Word
15-30 страниц
Список источников по ГОСТ
Оформление по ГОСТ
Таблицы и схемы

Другие упражнения из параграфа § 24

442 443 444 445 446 447 448 449 450 451 452 453 454 455
Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.