ГДЗ: Упражнение 487 - § 28 (Формулы сложения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Упростим выражение \( \sin(\alpha + \beta) + \sin(-\alpha) \cos(-\beta) \) .

• Шаг 1: Используем свойства четности/нечетности: \( \sin(-\alpha) = -\sin\alpha \) (нечетная функция) и \( \cos(-\beta) = \cos\beta \) (четная функция).
  Выражение примет вид: \( \sin(\alpha + \beta) + (-\sin\alpha) \cos\beta = \sin(\alpha + \beta) - \sin\alpha \cos\beta \)
• Шаг 2: Раскроем \( \sin(\alpha + \beta) \) по формуле синуса суммы:
  \( \sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta \)
• Шаг 3: Подставим разложение в выражение из Шага 1:
  \( (\sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta) - \sin\alpha \cos\beta \)
• Шаг 4: Приведем подобные слагаемые:
  \( \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta - \sin\alpha \cos\beta = \cos\alpha \sin\beta \)

Ответ: \( \cos\alpha \sin\beta \)

Упростим выражение \( \cos(-\alpha) \cos(-\beta) - \sin(-\alpha) \sin(-\beta) \) .

• Шаг 1: Используем свойства четности/нечетности:
  \( \cos(-\alpha) = \cos\alpha \)
  \( \cos(-\beta) = \cos\beta \)
  \( \sin(-\alpha) = -\sin\alpha \)
  \( \sin(-\beta) = -\sin\beta \)
• Шаг 2: Подставим упрощенные функции в выражение:
  \( \cos\alpha \cos\beta - (-\sin\alpha) (-\sin\beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta \)
• Шаг 3: Свернем полученное выражение по формуле косинуса суммы:
  \( \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta = \cos(\alpha + \beta) \)

Ответ: \( \cos(\alpha + \beta) \)

Упростим выражение \( \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) \sin(\frac{\pi}{2} - \beta) - \sin(\alpha - \beta) \) .

• Шаг 1: Используем формулы приведения:
  \( \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \sin\alpha \)
  \( \sin(\frac{\pi}{2} - \beta) = \cos\beta \)
• Шаг 2: Подставим формулы приведения в выражение:
  \( \sin\alpha \cos\beta - \sin(\alpha - \beta) \)
• Шаг 3: Раскроем \( \sin(\alpha - \beta) \) по формуле синуса разности:
  \( \sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta \)
• Шаг 4: Подставим разложение в выражение из Шага 2:
  \( \sin\alpha \cos\beta - (\sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta) \)
• Шаг 5: Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
  \( \sin\alpha \cos\beta - \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta = \cos\alpha \sin\beta \)

Ответ: \( \cos\alpha \sin\beta \)

Упростим выражение \( \sin(\alpha + \beta) + \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) \sin(-\beta) \) .

• Шаг 1: Используем свойства:
  Формула приведения: \( \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \cos\alpha \)
  Свойство нечетности: \( \sin(-\beta) = -\sin\beta \)
• Шаг 2: Подставим упрощенные функции в выражение:
  \( \sin(\alpha + \beta) + \cos\alpha \cdot (-\sin\beta) = \sin(\alpha + \beta) - \cos\alpha \sin\beta \)
• Шаг 3: Раскроем \( \sin(\alpha + \beta) \) по формуле синуса суммы:
  \( \sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta \)
• Шаг 4: Подставим разложение в выражение из Шага 2:
  \( (\sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta) - \cos\alpha \sin\beta \)
• Шаг 5: Приведем подобные слагаемые:
  \( \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta - \cos\alpha \sin\beta = \sin\alpha \cos\beta \)

Ответ: \( \sin\alpha \cos\beta \)