ГДЗ: Упражнение 495 - § 28 (Формулы сложения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Упростим выражение \( \frac{\sin(\frac{\pi}{6} + \alpha) - \cos(\frac{\pi}{3} + \alpha)}{\sin(\frac{\pi}{6} + \alpha) + \cos(\frac{\pi}{3} + \alpha)} \) .

1. Преобразование первого слагаемого в числителе/знаменателе

• \( \sin\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right) = \sin\frac{\pi}{6} \cos\alpha + \cos\frac{\pi}{6} \sin\alpha = \frac{1}{2} \cos\alpha + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin\alpha \)

2. Преобразование второго слагаемого в числителе/знаменателе

• \( \cos\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right) = \cos\frac{\pi}{3} \cos\alpha - \sin\frac{\pi}{3} \sin\alpha = \frac{1}{2} \cos\alpha - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin\alpha \)

3. Упрощение числителя

• Числитель = \( \left(\frac{1}{2} \cos\alpha + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin\alpha\right) - \left(\frac{1}{2} \cos\alpha - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin\alpha\right) \)
  \( = \frac{1}{2} \cos\alpha + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin\alpha - \frac{1}{2} \cos\alpha + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin\alpha \)
  \( = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \sin\alpha = \sqrt{3} \sin\alpha \)

4. Упрощение знаменателя

• Знаменатель = \( \left(\frac{1}{2} \cos\alpha + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin\alpha\right) + \left(\frac{1}{2} \cos\alpha - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin\alpha\right) \)
  \( = \frac{1}{2} \cos\alpha + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin\alpha + \frac{1}{2} \cos\alpha - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin\alpha \)
  \( = 2 \cdot \frac{1}{2} \cos\alpha = \cos\alpha \)

5. Окончательное упрощение

• \( \frac{\sqrt{3} \sin\alpha}{\cos\alpha} = \sqrt{3} \cdot \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \sqrt{3} \text{tg}\alpha \)

Ответ: \( \sqrt{3} \text{tg}\alpha \)