ГДЗ: Упражнение 492 - § 28 (Формулы сложения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Докажем тождество \( \frac{\sin(\alpha + \beta)}{\sin(\alpha - \beta)} = \frac{\text{tg}\alpha + \text{tg}\beta}{\text{tg}\alpha - \text{tg}\beta} \) .

• Шаг 1: Начнем с левой части (ЛЧ). Раскроем синусы суммы и разности:
  \( \text{ЛЧ} = \frac{\sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta}{\sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta} \)
• Шаг 2: Чтобы получить тангенсы, разделим числитель и знаменатель на произведение \( \cos\alpha \cos\beta \) (при условии, что оно не равно нулю):
  \( \text{ЛЧ} = \frac{\frac{\sin\alpha \cos\beta}{\cos\alpha \cos\beta} + \frac{\cos\alpha \sin\beta}{\cos\alpha \cos\beta}}{\frac{\sin\alpha \cos\beta}{\cos\alpha \cos\beta} - \frac{\cos\alpha \sin\beta}{\cos\alpha \cos\beta}} \)
• Шаг 3: Сократим дроби:
  \( \text{ЛЧ} = \frac{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} + \frac{\sin\beta}{\cos\beta}}{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} - \frac{\sin\beta}{\cos\beta}} \)
• Шаг 4: Заменим отношения синусов к косинусам на тангенсы:
  \( \text{ЛЧ} = \frac{\text{tg}\alpha + \text{tg}\beta}{\text{tg}\alpha - \text{tg}\beta} = \text{ПЧ} \)

Так как Левая Часть равна Правой Части, тождество доказано.

Докажем тождество \( \frac{\cos(\alpha - \beta)}{\cos(\alpha + \beta)} = \frac{\text{ctg}\alpha \text{ctg}\beta + 1}{\text{ctg}\alpha \text{ctg}\beta - 1} \) .

• Шаг 1: Начнем с левой части (ЛЧ). Раскроем косинусы разности и суммы:
  \( \text{ЛЧ} = \frac{\cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta}{\cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta} \)
• Шаг 2: Чтобы получить котангенсы и единицу, разделим числитель и знаменатель на произведение \( \sin\alpha \sin\beta \) (при условии, что оно не равно нулю):
  \( \text{ЛЧ} = \frac{\frac{\cos\alpha \cos\beta}{\sin\alpha \sin\beta} + \frac{\sin\alpha \sin\beta}{\sin\alpha \sin\beta}}{\frac{\cos\alpha \cos\beta}{\sin\alpha \sin\beta} - \frac{\sin\alpha \sin\beta}{\sin\alpha \sin\beta}} \)
• Шаг 3: Разделим числитель и знаменатель каждой дроби:
  \( \text{ЛЧ} = \frac{\left(\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\right) \left(\frac{\cos\beta}{\sin\beta}\right) + 1}{\left(\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\right) \left(\frac{\cos\beta}{\sin\beta}\right) - 1} \)
• Шаг 4: Заменим отношения косинусов к синусам на котангенсы:
  \( \text{ЛЧ} = \frac{\text{ctg}\alpha \text{ctg}\beta + 1}{\text{ctg}\alpha \text{ctg}\beta - 1} = \text{ПЧ} \)

Так как Левая Часть равна Правой Части, тождество доказано.

Докажем тождество \( \cos(\frac{\pi}{4} + \alpha) = \frac{\sqrt{2}}{2} (\cos\alpha - \sin\alpha) \) . Начнем с левой части (ЛЧ).

• Шаг 1: Применим формулу косинуса суммы:
  \( \text{ЛЧ} = \cos\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) = \cos\frac{\pi}{4} \cos\alpha - \sin\frac{\pi}{4} \sin\alpha \)
• Шаг 2: Подставим значения \( \cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \) и \( \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \) :
  \( \text{ЛЧ} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cos\alpha - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin\alpha \)
• Шаг 3: Вынесем общий множитель \( \frac{\sqrt{2}}{2} \) :
  \( \text{ЛЧ} = \frac{\sqrt{2}}{2} (\cos\alpha - \sin\alpha) = \text{ПЧ} \)

Так как Левая Часть равна Правой Части, тождество доказано.

Докажем тождество \( \frac{\cos(\alpha + \beta)}{\cos\alpha \sin\beta} = \text{ctg}\beta - \text{tg}\alpha \) . Начнем с левой части (ЛЧ).

• Шаг 1: Раскроем \( \cos(\alpha + \beta) \) по формуле косинуса суммы:
  \( \text{ЛЧ} = \frac{\cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta}{\cos\alpha \sin\beta} \)
• Шаг 2: Разделим числитель почленно на знаменатель:
  \( \text{ЛЧ} = \frac{\cos\alpha \cos\beta}{\cos\alpha \sin\beta} - \frac{\sin\alpha \sin\beta}{\cos\alpha \sin\beta} \)
• Шаг 3: Сократим дроби:
  В первой дроби сокращаем \( \cos\alpha \) : \( \frac{\cos\beta}{\sin\beta} \)
  Во второй дроби сокращаем \( \sin\beta \) : \( \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \)
  \( \text{ЛЧ} = \frac{\cos\beta}{\sin\beta} - \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \)
• Шаг 4: Заменим отношения на котангенс и тангенс:
  \( \text{ЛЧ} = \text{ctg}\beta - \text{tg}\alpha = \text{ПЧ} \)

Так как Левая Часть равна Правой Части, тождество доказано.

Докажем тождество \( \cos\alpha \cos\beta = \frac{1}{2} (\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)) \) . Начнем с правой части (ПЧ).

• Шаг 1: Раскроем \( \cos(\alpha + \beta) \) и \( \cos(\alpha - \beta) \) :
  \( \cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta \)
  \( \cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta \)
• Шаг 2: Сложим эти выражения:
  \( \cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta) = (\cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta) + (\cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta) \)
  \( = 2 \cos\alpha \cos\beta \)
• Шаг 3: Подставим результат в ПЧ:
  \( \text{ПЧ} = \frac{1}{2} (2 \cos\alpha \cos\beta) = \cos\alpha \cos\beta = \text{ЛЧ} \)

Так как Левая Часть равна Правой Части, тождество доказано. Данное тождество является формулой преобразования произведения косинусов в сумму.

Докажем тождество \( \sin\alpha \sin\beta = \frac{1}{2} (\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)) \) . Начнем с правой части (ПЧ).

• Шаг 1: Раскроем \( \cos(\alpha - \beta) \) и \( \cos(\alpha + \beta) \) :
  \( \cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta \)
  \( \cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta \)
• Шаг 2: Вычтем второе выражение из первого:
  \( \cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta) = (\cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta) - (\cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta) \)
  \( = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta - \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta = 2 \sin\alpha \sin\beta \)
• Шаг 3: Подставим результат в ПЧ:
  \( \text{ПЧ} = \frac{1}{2} (2 \sin\alpha \sin\beta) = \sin\alpha \sin\beta = \text{ЛЧ} \)

Так как Левая Часть равна Правой Части, тождество доказано. Данное тождество является формулой преобразования произведения синусов в разность.