ГДЗ: Упражнение 491 - § 28 (Формулы сложения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Упростим выражение \( \cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta) \) .

• Шаг 1: Раскроем \( \cos(\alpha - \beta) \) по формуле косинуса разности:
  \( \cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta \)
• Шаг 2: Раскроем \( \cos(\alpha + \beta) \) по формуле косинуса суммы:
  \( \cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta \)
• Шаг 3: Вычтем второе выражение из первого:
  \( \cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta) = (\cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta) - (\cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta) \)
• Шаг 4: Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
  \( \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta - \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta = 2 \sin\alpha \sin\beta \)

Ответ: \( 2 \sin\alpha \sin\beta \)

Упростим выражение \( \cos(\frac{\pi}{4} + \alpha) \cos(\frac{\pi}{4} - \alpha) + \sin^2\alpha \) .

• Шаг 1: Раскроем каждый косинус по формулам сложения/вычитания.
  \( \cos\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) = \cos\frac{\pi}{4} \cos\alpha - \sin\frac{\pi}{4} \sin\alpha = \frac{\sqrt{2}}{2} \cos\alpha - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin\alpha \)
  \( \cos\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right) = \cos\frac{\pi}{4} \cos\alpha + \sin\frac{\pi}{4} \sin\alpha = \frac{\sqrt{2}}{2} \cos\alpha + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin\alpha \)
• Шаг 2: Умножим эти выражения (используя формулу разности квадратов \( (a - b)(a + b) = a^2 - b^2 \) ):
  \( \cos\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) \cos\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right) = \left(\frac{\sqrt{2}}{2} \cos\alpha\right)^2 - \left(\frac{\sqrt{2}}{2} \sin\alpha\right)^2 \)
  \( = \frac{2}{4} \cos^2\alpha - \frac{2}{4} \sin^2\alpha = \frac{1}{2} \cos^2\alpha - \frac{1}{2} \sin^2\alpha = \frac{1}{2} (\cos^2\alpha - \sin^2\alpha) \)
• Шаг 3: Подставим результат обратно в исходное выражение:
  \( \frac{1}{2} (\cos^2\alpha - \sin^2\alpha) + \sin^2\alpha \)
• Шаг 4: Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
  \( \frac{1}{2} \cos^2\alpha - \frac{1}{2} \sin^2\alpha + \sin^2\alpha = \frac{1}{2} \cos^2\alpha + \frac{1}{2} \sin^2\alpha \)
• Шаг 5: Вынесем \( \frac{1}{2} \) за скобки и используем основное тригонометрическое тождество \( \cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1 \):
  \( \frac{1}{2} (\cos^2\alpha + \sin^2\alpha) = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2} \)

Ответ: \( \frac{1}{2} \)

Упростим выражение \( \cos 3\alpha + \sin 4\alpha \sin 2\alpha \) .

• Шаг 1: В условии, вероятно, опечатка, и выражение должно быть \( \cos 3\alpha \cos \alpha + \sin 4\alpha \sin 2\alpha \) , \( \cos 3\alpha + \sin 3\alpha \sin \alpha \) или подобное, чтобы можно было применить формулы сложения/произведения. Однако, исходя строго из данного текста, упростить его с помощью формул сложения невозможно.
  Предположим, что имелось в виду выражение: \( \cos 3\alpha \cos \alpha + \sin 3\alpha \sin \alpha \)
• Шаг 2 (по предположению): Применим формулу косинуса разности:
  \( \cos 3\alpha \cos \alpha + \sin 3\alpha \sin \alpha = \cos(3\alpha - \alpha) = \cos 2\alpha \)

Примечание: Если упрощение нужно сделать строго по тексту \( \cos 3\alpha + \sin 4\alpha \sin 2\alpha \) , то без применения формул двойного угла и произведения синусов в сумму, которые будут изучены позже, выражение не упрощается в тригонометрическую функцию одного угла.
Ответ дается для предполагаемого выражения, которое упрощается по формулам сложения.

Ответ (по предположению, если это \( \cos 3\alpha \cos \alpha + \sin 3\alpha \sin \alpha \) ): \( \cos 2\alpha \)

Упростим выражение \( \cos 2\alpha \cos 2\alpha - \cos 3\alpha \) .

• Шаг 1: Перепишем первое слагаемое:
  \( \cos 2\alpha \cos 2\alpha = \cos^2 2\alpha \)
• Шаг 2: В условии, вероятно, опечатка, и выражение должно быть \( \cos 2\alpha \cos \alpha - \sin 2\alpha \sin \alpha \) или подобное, чтобы можно было применить формулы сложения/вычитания. Наличие \( \cos 2\alpha \cos 2\alpha \) и \( \cos 3\alpha \) в таком виде не позволяет применить формулы сложения.
  Предположим, что имелось в виду выражение: \( \cos 2\alpha \cos \alpha - \sin 2\alpha \sin \alpha \)
• Шаг 2 (по предположению): Применим формулу косинуса суммы:
  \( \cos 2\alpha \cos \alpha - \sin 2\alpha \sin \alpha = \cos(2\alpha + \alpha) = \cos 3\alpha \)
• Шаг 3 (по предположению): В таком случае, исходное выражение, вероятно, было: \( \cos 2\alpha \cos \alpha - \sin 2\alpha \sin \alpha - \cos 3\alpha \) , которое упрощается до \( \cos 3\alpha - \cos 3\alpha = 0 \) .
  Ответ дается для предполагаемого выражения, которое упрощается по формулам сложения.

Ответ (по предположению, если это \( \cos 2\alpha \cos \alpha - \sin 2\alpha \sin \alpha \) ): \( \cos 3\alpha \) (но если все выражение \( \cos 2\alpha \cos \alpha - \sin 2\alpha \sin \alpha - \cos 3\alpha \) , то ответ \( 0 \) ).
Будем считать, что задание - это: \( \cos 2\alpha \cos 2\alpha - \sin 2\alpha \sin 2\alpha \) .
\( \cos 2\alpha \cos 2\alpha - \sin 2\alpha \sin 2\alpha = \cos(2\alpha + 2\alpha) = \cos 4\alpha \)

Ответ (по наиболее вероятной опечатке): \( \cos 4\alpha \)