ГДЗ: Упражнение 493 - § 28 (Формулы сложения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Данное выражение имеет вид \( \frac{\text{tg}\alpha + \text{tg}\beta}{1 - \text{tg}\alpha \text{tg}\beta} \) , что является формулой тангенса суммы \( \text{tg}(\alpha + \beta) \) .

• Шаг 1: Определим \( \alpha \) и \( \beta \):
  \( \alpha = 29^{\circ} \), \( \beta = 31^{\circ} \)
• Шаг 2: Применим формулу тангенса суммы:
  \( \frac{\text{tg} 29^{\circ} + \text{tg} 31^{\circ}}{1 - \text{tg} 29^{\circ} \text{tg} 31^{\circ}} = \text{tg}(29^{\circ} + 31^{\circ}) \)
• Шаг 3: Вычислим сумму углов:
  \( 29^{\circ} + 31^{\circ} = 60^{\circ} \)
• Шаг 4: Вычислим тангенс полученного угла:
  \( \text{tg} 60^{\circ} = \sqrt{3} \)

Ответ: \( \sqrt{3} \)

Данное выражение имеет вид \( \frac{\text{tg}\alpha - \text{tg}\beta}{1 + \text{tg}\alpha \text{tg}\beta} \) , что является формулой тангенса разности \( \text{tg}(\alpha - \beta) \) .

• Шаг 1: Определим \( \alpha \) и \( \beta \):
  \( \alpha = \frac{7\pi}{16} \), \( \beta = \frac{3\pi}{16} \)
• Шаг 2: Применим формулу тангенса разности:
  \( \frac{\text{tg}\frac{7\pi}{16} - \text{tg}\frac{3\pi}{16}}{1 + \text{tg}\frac{7\pi}{16} \text{tg}\frac{3\pi}{16}} = \text{tg}\left(\frac{7\pi}{16} - \frac{3\pi}{16}\right) \)
• Шаг 3: Вычислим разность углов:
  \( \frac{7\pi}{16} - \frac{3\pi}{16} = \frac{4\pi}{16} = \frac{\pi}{4} \)
• Шаг 4: Вычислим тангенс полученного угла:
  \( \text{tg}\frac{\pi}{4} = 1 \)

Ответ: \( 1 \)

Данное выражение можно привести к виду формулы тангенса разности \( \text{tg}(\alpha - \beta) = \frac{\text{tg}\alpha - \text{tg}\beta}{1 + \text{tg}\alpha \text{tg}\beta} \) , взяв обратное значение.

• Шаг 1: Заметим, что данное выражение — это обратное значение тангенса разности, если \( \alpha = 55^{\circ} \) и \( \beta = 10^{\circ} \) :
  \( \frac{1 + \text{tg} 10^{\circ} \text{tg} 55^{\circ}}{\text{tg} 55^{\circ} - \text{tg} 10^{\circ}} = \frac{1}{\frac{\text{tg} 55^{\circ} - \text{tg} 10^{\circ}}{1 + \text{tg} 55^{\circ} \text{tg} 10^{\circ}}} \)
• Шаг 2: Применим формулу тангенса разности в знаменателе:
  \( \frac{1}{\text{tg}(55^{\circ} - 10^{\circ})} \)
• Шаг 3: Вычислим разность углов:
  \( 55^{\circ} - 10^{\circ} = 45^{\circ} \)
• Шаг 4: Вычислим обратное значение тангенса:
  \( \frac{1}{\text{tg} 45^{\circ}} = \frac{1}{1} = 1 \)

Ответ: \( 1 \)

Данное выражение можно привести к виду формулы тангенса суммы \( \text{tg}(\alpha + \beta) = \frac{\text{tg}\alpha + \text{tg}\beta}{1 - \text{tg}\alpha \text{tg}\beta} \) , взяв обратное значение.

• Шаг 1: Заметим, что данное выражение — это обратное значение тангенса суммы, если \( \alpha = 17^{\circ} \) и \( \beta = 13^{\circ} \) :
  \( \frac{1 - \text{tg} 13^{\circ} \text{tg} 17^{\circ}}{\text{tg} 17^{\circ} + \text{tg} 13^{\circ}} = \frac{1}{\frac{\text{tg} 17^{\circ} + \text{tg} 13^{\circ}}{1 - \text{tg} 17^{\circ} \text{tg} 13^{\circ}}} \)
• Шаг 2: Применим формулу тангенса суммы в знаменателе:
  \( \frac{1}{\text{tg}(17^{\circ} + 13^{\circ})} \)
• Шаг 3: Вычислим сумму углов:
  \( 17^{\circ} + 13^{\circ} = 30^{\circ} \)
• Шаг 4: Вычислим обратное значение тангенса:
  \( \frac{1}{\text{tg} 30^{\circ}} = \frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} \)

Ответ: \( \sqrt{3} \)