Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 28 / Задание 494

ГДЗ: Упражнение 494 - § 28 (Формулы сложения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 144, 146, 147, 148
Глава: Глава 5
Параграф: § 28 - Формулы сложения
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

494 упражнение:

Вычислить:

1) \( \text{tg}(\alpha + \beta) \), если \( \text{tg}\alpha = -\frac{3}{4} \) и \( \text{tg}\beta = 2,4 \)

Необходимо вычислить \( \text{tg}(\alpha + \beta) \) . Используем формулу тангенса суммы \( \text{tg}(\alpha + \beta) = \frac{\text{tg}\alpha + \text{tg}\beta}{1 - \text{tg}\alpha \text{tg}\beta} \) .

  • Шаг 1: Переведем \( \text{tg}\beta \) в дробь:
    \( \text{tg}\beta = 2,4 = \frac{24}{10} = \frac{12}{5} \) .
  • Шаг 2: Подставим значения \( \text{tg}\alpha = -\frac{3}{4} \) и \( \text{tg}\beta = \frac{12}{5} \) в формулу:
    \( \text{tg}(\alpha + \beta) = \frac{-\frac{3}{4} + \frac{12}{5}}{1 - \left(-\frac{3}{4}\right) \left(\frac{12}{5}\right)} \)
  • Шаг 3: Упростим числитель (общий знаменатель 20):
    \( -\frac{3}{4} + \frac{12}{5} = -\frac{3 \cdot 5}{20} + \frac{12 \cdot 4}{20} = \frac{-15 + 48}{20} = \frac{33}{20} \)
  • Шаг 4: Упростим знаменатель:
    \( 1 - \left(-\frac{3}{4}\right) \left(\frac{12}{5}\right) = 1 + \frac{3 \cdot 12}{4 \cdot 5} = 1 + \frac{36}{20} = 1 + \frac{9}{5} = \frac{5}{5} + \frac{9}{5} = \frac{14}{5} \)
  • Шаг 5: Разделим числитель на знаменатель:
    \( \text{tg}(\alpha + \beta) = \frac{\frac{33}{20}}{\frac{14}{5}} = \frac{33}{20} \cdot \frac{5}{14} = \frac{33 \cdot 5}{20 \cdot 14} = \frac{33}{4 \cdot 14} = \frac{33}{56} \)

Ответ: \( \frac{33}{56} \)

2) \( \text{ctg}(\alpha - \beta) \), если \( \text{ctg}\alpha = \frac{4}{3} \) и \( \text{ctg}\beta = -1 \)

Необходимо вычислить \( \text{ctg}(\alpha - \beta) \) . Используем формулу котангенса разности: \( \text{ctg}(\alpha - \beta) = \frac{\text{ctg}\alpha \text{ctg}\beta + 1}{\text{ctg}\beta - \text{ctg}\alpha} \) .

  • Шаг 1: Подставим значения \( \text{ctg}\alpha = \frac{4}{3} \) и \( \text{ctg}\beta = -1 \) в формулу:
    \( \text{ctg}(\alpha - \beta) = \frac{\frac{4}{3} \cdot (-1) + 1}{-1 - \frac{4}{3}} \)
  • Шаг 2: Упростим числитель:
    \( -\frac{4}{3} + 1 = -\frac{4}{3} + \frac{3}{3} = -\frac{1}{3} \)
  • Шаг 3: Упростим знаменатель:
    \( -1 - \frac{4}{3} = -\frac{3}{3} - \frac{4}{3} = -\frac{7}{3} \)
  • Шаг 4: Разделим числитель на знаменатель:
    \( \text{ctg}(\alpha - \beta) = \frac{-\frac{1}{3}}{-\frac{7}{3}} = \frac{1}{7} \)

Ответ: \( \frac{1}{7} \)

Что применять при решении

Косинус суммы двух углов
Косинус суммы двух углов равен произведению косинусов этих углов минус произведение их синусов.
\( \cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta \)
Косинус разности двух углов
Косинус разности двух углов равен произведению косинусов этих углов плюс произведение их синусов.
\( \cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta \)
Синус суммы двух углов
Синус суммы двух углов равен произведению синуса первого угла на косинус второго плюс произведение косинуса первого угла на синус второго.
\( \sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta \)
Синус разности двух углов
Синус разности двух углов равен произведению синуса первого угла на косинус второго минус произведение косинуса первого угла на синус второго.
\( \sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta \)
Тангенс суммы двух углов
Тангенс суммы двух углов равен отношению суммы тангенсов этих углов к единице минус произведение их тангенсов, при условии, что все тангенсы определены и знаменатель не равен нулю.
\( \text{tg}(\alpha + \beta) = \frac{\text{tg}\alpha + \text{tg}\beta}{1 - \text{tg}\alpha \text{tg}\beta} \)
Формулы приведения
Формулы, позволяющие выразить тригонометрические функции угла \( \frac{\pi}{2} \pm \alpha \) , \( \pi \pm \alpha \) и т.д. через функции угла \( \alpha \). В частности, \( \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \cos\alpha \) и \( \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \sin\alpha \) .

Задали создать проект?

Создай с помощью ИИ за 5 минут

До 90% уникальность
Готовый файл Word
15-30 страниц
Список источников по ГОСТ
Оформление по ГОСТ
Таблицы и схемы

Другие упражнения из параграфа § 28

481 482 483 484 485 486 487 488 489 490 491 492 493 494 495 496 497
Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.