ГДЗ: Упражнение 691 - § 38 (Область определения и множество значений тригонометрических функций) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Областью определения функции \( y = \sin 2x \) является множество всех значений \( x \), при которых выражение \( \sin 2x \) имеет смысл.

• Функция синуса \( \sin u \) определена для любого действительного значения аргумента \( u \).

• В нашем случае аргументом является \( u = 2x \). Поскольку \( 2x \) определено для всех \( x \in \mathbb{R} \), функция \( y = \sin 2x \) определена для всех действительных чисел.

Ответ: \( D(y) = \mathbb{R} \) (множество всех действительных чисел).

Областью определения функции \( y = \cos \frac{x}{2} \) является множество всех значений \( x \), при которых выражение \( \cos \frac{x}{2} \) имеет смысл.

• Функция косинуса \( \cos u \) определена для любого действительного значения аргумента \( u \).

• В нашем случае аргументом является \( u = \frac{x}{2} \). Выражение \( \frac{x}{2} \) определено для всех \( x \in \mathbb{R} \), поэтому функция \( y = \cos \frac{x}{2} \) определена для всех действительных чисел.

Ответ: \( D(y) = \mathbb{R} \) (множество всех действительных чисел).

Областью определения функции \( y = \cos \frac{1}{x} \) является множество всех значений \( x \), при которых выражение \( \cos \frac{1}{x} \) имеет смысл.

• Функция косинуса определена всегда, но ее аргумент \( \frac{1}{x} \) является дробью.

• Дробь \( \frac{1}{x} \) определена только тогда, когда её знаменатель не равен нулю: \( x \neq 0 \).

Ответ: \( D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty) \), или \( x \neq 0 \).

Областью определения функции \( y = \sin \sqrt{x} \) является множество всех значений \( x \), при которых выражение \( \sin \sqrt{x} \) имеет смысл.

• Функция синуса определена всегда, но ее аргумент \( \sqrt{x} \) является квадратным корнем.

• Выражение \( \sqrt{x} \) (квадратный корень) имеет смысл только в том случае, если подкоренное выражение неотрицательно: \( x \ge 0 \).

Ответ: \( D(y) = [0; +\infty) \), или \( x \ge 0 \).

Областью определения функции \( y = \sin \frac{x}{2} \) является множество всех значений \( x \), при которых выражение \( \sin \frac{x}{2} \) имеет смысл.

• Функция синуса \( \sin u \) определена для любого действительного значения аргумента \( u \).

• В нашем случае аргументом является \( u = \frac{x}{2} \). Поскольку \( \frac{x}{2} \) определено для всех \( x \in \mathbb{R} \), функция \( y = \sin \frac{x}{2} \) определена для всех действительных чисел.

Ответ: \( D(y) = \mathbb{R} \) (множество всех действительных чисел).

Областью определения функции \( y = \sqrt{\frac{x-1}{x+1}} \) является множество всех значений \( x \), при которых выражение имеет смысл.

• Условие 1 (Корень): Выражение под корнем должно быть неотрицательно: \( \frac{x-1}{x+1} \ge 0 \).

• Условие 2 (Знаменатель): Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: \( x+1 \neq 0 \), то есть \( x \neq -1 \).

Решим неравенство \( \frac{x-1}{x+1} \ge 0 \) методом интервалов.

• Нули числителя: \( x-1=0 \) при \( x=1 \).

• Нули знаменателя: \( x+1=0 \) при \( x=-1 \).

• Отметим точки \( -1 \) (выколотая) и \( 1 \) (закрашенная) на числовой прямой и определим знак дроби на полученных интервалах:

  • При \( x > 1 \), например \( x=2 \): \( \frac{2-1}{2+1} = \frac{1}{3} > 0 \). Знак (+).

  • При \( -1 < x < 1 \), например \( x=0 \): \( \frac{0-1}{0+1} = -1 < 0 \). Знак (-).

  • При \( x < -1 \), например \( x=-2 \): \( \frac{-2-1}{-2+1} = \frac{-3}{-1} = 3 > 0 \). Знак (+).

• Неравенство \( \frac{x-1}{x+1} \ge 0 \) выполняется на интервалах \( (-\infty; -1) \cup [1; +\infty) \).

Ответ: \( D(y) = (-\infty; -1) \cup [1; +\infty) \).