Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 38 / Задание 697

ГДЗ: Упражнение 697 - § 38 (Область определения и множество значений тригонометрических функций) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 201, 203, 204
Глава: Глава 7
Параграф: § 38 - Область определения и множество значений тригонометрических функций
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

697 упражнение:

Найти наибольшее и наименьшее значения функции \( y = 3 \cos 2x - 4 \sin 2x \).

1)

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции вида \( f(x) = a \cos kx + b \sin kx \) воспользуемся методом вспомогательного угла.

  • Функция имеет вид \( y = a \cos u + b \sin u \), где \( a=3 \), \( b=-4 \), а аргумент \( u = 2x \).

  • Множество значений такой функции находится в отрезке \( [-\sqrt{a^2+b^2}; \sqrt{a^2+b^2}] \).

  • Вычислим \( \sqrt{a^2+b^2} \):
    \( \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \)

  • Поэтому: \( -5 \le 3 \cos 2x - 4 \sin 2x \le 5 \)

  • Наибольшее значение: \( y_{\text{наиб.}} = 5 \)

  • Наименьшее значение: \( y_{\text{наим.}} = -5 \)

Пояснение через преобразование:

  • Вынесем \( 5 \) за скобки:
    \( y = 5 \left( \frac{3}{5} \cos 2x - \frac{4}{5} \sin 2x \right) \)

  • Введем вспомогательный угол \( \alpha \) такой, что \( \cos \alpha = \frac{3}{5} \) и \( \sin \alpha = \frac{4}{5} \).

  • Тогда по формуле косинуса суммы \( \cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta \):
    \( y = 5 (\cos \alpha \cos 2x - \sin \alpha \sin 2x) \)
    \( y = 5 \cos (2x + \alpha) \)

  • Множество значений функции \( \cos (2x + \alpha) \) — это \( [-1; 1] \).

  • Следовательно, множество значений \( 5 \cos (2x + \alpha) \) — это \( [5 \cdot (-1); 5 \cdot 1] = [-5; 5] \).

Ответ: Наибольшее значение: \( 5 \); Наименьшее значение: \( -5 \).

Что применять при решении

Область определения функций \( y = \sin x \) и \( y = \cos x \)
Областью определения функций синуса и косинуса является множество всех действительных чисел \( \mathbb{R} \), поскольку для любого действительного числа \( x \) можно определить соответствующие значения \( \sin x \) и \( \cos x \).
\( D(y) = \mathbb{R} \)
Множество значений функций \( y = \sin x \) и \( y = \cos x \)
Множество значений функций синуса и косинуса — это отрезок \( [-1; 1] \), так как для любого угла значения синуса и косинуса не могут быть меньше -1 и больше 1.
\( E(y) = [-1; 1] \)
Область определения функции \( y = \mathrm{tg} x \)
Функция тангенса \( y = \mathrm{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x} \) определена только тогда, когда знаменатель \( \cos x \neq 0 \). Это условие не выполняется при \( x = \frac{\pi}{2} + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).
\( D(y): x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \)
Область определения функции \( y = \mathrm{ctg} x \)
Функция котангенса \( y = \mathrm{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x} \) определена только тогда, когда знаменатель \( \sin x \neq 0 \). Это условие не выполняется при \( x = \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).
\( D(y): x \neq \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \)
Область определения корня четной степени
Выражение \( \sqrt{f(x)} \) имеет смысл только в том случае, когда подкоренное выражение \( f(x) \) неотрицательно.
\( f(x) \ge 0 \)
Свойства логарифма
Выражение \( \log_a f(x) \) или \( \ln f(x) \) имеет смысл только в том случае, когда выражение, стоящее под знаком логарифма, строго положительно.
\( f(x) > 0 \)
Метод вспомогательного угла
Выражение вида \( a \sin x + b \cos x \) можно преобразовать к виду \( \sqrt{a^2+b^2} \sin(x+\alpha) \), где \( \cos \alpha = \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} \) и \( \sin \alpha = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} \). Это позволяет найти множество значений функции \( y = a \sin x + b \cos x \).
\( a \sin x + b \cos x = \sqrt{a^2+b^2} \sin(x+\alpha) \)

Задали создать проект?

Создай с помощью ИИ за 5 минут

До 90% уникальность
Готовый файл Word
15-30 страниц
Список источников по ГОСТ
Оформление по ГОСТ
Таблицы и схемы

Другие упражнения из параграфа § 38

691 692 693 694 695 696 697 698 699
Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.