ГДЗ: Упражнение 692 - § 38 (Область определения и множество значений тригонометрических функций) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Множество значений функции \( y = 1 + \sin x \) зависит от множества значений функции \( \sin x \).

• Известно, что для любого \( x \in \mathbb{R} \) функция синуса принимает значения в отрезке \( [-1; 1] \):
  \( -1 \le \sin x \le 1 \)

• Для нахождения множества значений \( y = 1 + \sin x \) прибавим 1 ко всем частям двойного неравенства:
  \( -1 + 1 \le 1 + \sin x \le 1 + 1 \)
  \( 0 \le 1 + \sin x \le 2 \)

• Таким образом, \( 0 \le y \le 2 \).

Ответ: \( E(y) = [0; 2] \).

Множество значений функции \( y = 1 - \cos x \) зависит от множества значений функции \( \cos x \).

• Известно, что для любого \( x \in \mathbb{R} \) функция косинуса принимает значения в отрезке \( [-1; 1] \):
  \( -1 \le \cos x \le 1 \)

• Сначала умножим все части неравенства на \( -1 \). При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:
  \( (-1) \cdot (-1) \ge - \cos x \ge (-1) \cdot 1 \)
  \( 1 \ge - \cos x \ge -1 \), или, что то же самое:
  \( -1 \le - \cos x \le 1 \)

• Теперь прибавим 1 ко всем частям двойного неравенства:
  \( -1 + 1 \le 1 - \cos x \le 1 + 1 \)
  \( 0 \le 1 - \cos x \le 2 \)

• Таким образом, \( 0 \le y \le 2 \).

Ответ: \( E(y) = [0; 2] \).

Множество значений функции \( y = 2 \sin x + 3 \) зависит от множества значений функции \( \sin x \).

• Начнем с известного факта:
  \( -1 \le \sin x \le 1 \)

• Умножим все части на 2:
  \( 2 \cdot (-1) \le 2 \sin x \le 2 \cdot 1 \)
  \( -2 \le 2 \sin x \le 2 \)

• Прибавим 3 ко всем частям:
  \( -2 + 3 \le 2 \sin x + 3 \le 2 + 3 \)
  \( 1 \le 2 \sin x + 3 \le 5 \)

• Таким образом, \( 1 \le y \le 5 \).

Ответ: \( E(y) = [1; 5] \).

Множество значений функции \( y = 1 - 4 \cos 2x \) зависит от множества значений функции \( \cos 2x \).

• Аргумент \( 2x \) пробегает все действительные числа, поэтому функция косинуса \( \cos 2x \) принимает все значения из отрезка \( [-1; 1] \):
  \( -1 \le \cos 2x \le 1 \)

• Умножим все части на \( -4 \). При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:
  \( (-4) \cdot (-1) \ge -4 \cos 2x \ge (-4) \cdot 1 \)
  \( 4 \ge -4 \cos 2x \ge -4 \), или:
  \( -4 \le -4 \cos 2x \le 4 \)

• Прибавим 1 ко всем частям:
  \( -4 + 1 \le 1 - 4 \cos 2x \le 4 + 1 \)
  \( -3 \le 1 - 4 \cos 2x \le 5 \)

• Таким образом, \( -3 \le y \le 5 \).

Ответ: \( E(y) = [-3; 5] \).

Преобразуем функцию, используя формулу синуса двойного угла: \( \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha \), откуда \( \sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{2} \sin 2\alpha \).

• В нашем случае \( \alpha = 2x \). Преобразуем произведение \( \sin 2x \cos 2x \):
  \( \sin 2x \cos 2x = \frac{1}{2} \sin (2 \cdot 2x) = \frac{1}{2} \sin 4x \)

• Функция примет вид:
  \( y = \frac{1}{2} \sin 4x + 2 \)

• Начнем с множества значений функции \( \sin 4x \):
  \( -1 \le \sin 4x \le 1 \)

• Умножим все части на \( \frac{1}{2} \):
  \( \frac{1}{2} \cdot (-1) \le \frac{1}{2} \sin 4x \le \frac{1}{2} \cdot 1 \)
  \( -\frac{1}{2} \le \frac{1}{2} \sin 4x \le \frac{1}{2} \)

• Прибавим 2 ко всем частям:
  \( -\frac{1}{2} + 2 \le \frac{1}{2} \sin 4x + 2 \le \frac{1}{2} + 2 \)
  \( 1.5 \le y \le 2.5 \)

Ответ: \( E(y) = [1.5; 2.5] \) или \( \left[\frac{3}{2}; \frac{5}{2}\right] \).

Преобразуем функцию, используя формулу синуса двойного угла: \( \sin 2x = 2 \sin x \cos x \), откуда \( \sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin 2x \).

• Заменим произведение \( \sin x \cos x \) в исходной функции:
  \( y = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} \sin 2x \right) - 1 \)
  \( y = \frac{1}{4} \sin 2x - 1 \)

• Начнем с множества значений функции \( \sin 2x \):
  \( -1 \le \sin 2x \le 1 \)

• Умножим все части на \( \frac{1}{4} \):
  \( -\frac{1}{4} \le \frac{1}{4} \sin 2x \le \frac{1}{4} \)

• Вычтем 1 из всех частей:
  \( -\frac{1}{4} - 1 \le \frac{1}{4} \sin 2x - 1 \le \frac{1}{4} - 1 \)
  \( -1 \frac{1}{4} \le y \le -\frac{3}{4} \)

Ответ: \( E(y) = \left[ -1 \frac{1}{4}; -\frac{3}{4} \right] \) или \( \left[ -\frac{5}{4}; -\frac{3}{4} \right] \).