ГДЗ: Упражнение 694 - § 38 (Область определения и множество значений тригонометрических функций) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Функция содержит квадратный корень, поэтому подкоренное выражение должно быть неотрицательным.

• Требуется условие: \( \sin x + 1 \ge 0 \)

• Перенесем 1 в правую часть:
  \( \sin x \ge -1 \)

• Известно, что функция синуса всегда удовлетворяет неравенству \( \sin x \ge -1 \), так как её минимальное значение равно -1. Таким образом, это неравенство верно для всех действительных чисел \( x \).

Ответ: \( D(y) = \mathbb{R} \) (множество всех действительных чисел).

Функция содержит квадратный корень, поэтому подкоренное выражение должно быть неотрицательным.

• Требуется условие: \( \cos x - 1 \ge 0 \)

• Перенесем 1 в правую часть:
  \( \cos x \ge 1 \)

• Известно, что функция косинуса всегда удовлетворяет неравенству \( \cos x \le 1 \). Совмещая \( \cos x \ge 1 \) и \( \cos x \le 1 \), получаем, что единственно возможное условие — это равенство:
  \( \cos x = 1 \)

• Уравнение \( \cos x = 1 \) имеет решения \( x = 2\pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

Ответ: \( D(y) = \left\{ 2\pi n \mid n \in \mathbb{Z} \right\} \).

Функция содержит логарифм (десятичный логарифм, \( \lg \)), поэтому выражение под логарифмом должно быть строго положительным.

• Требуется условие: \( \sin x > 0 \)

• Синус положителен в I и II четвертях тригонометрического круга. Решение неравенства \( \sin x > 0 \) в общем виде:
  \( 2\pi n < x < \pi + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \)

Ответ: \( D(y) = \left\{ x \in \mathbb{R} \mid 2\pi n < x < \pi + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \right\} \) (где \( n \in \mathbb{Z} \)).

Функция содержит квадратный корень, поэтому подкоренное выражение должно быть неотрицательным.

• Требуется условие: \( 2 \cos x - 1 \ge 0 \)

• Перенесем 1 и разделим на 2:
  \( 2 \cos x \ge 1 \)
  \( \cos x \ge \frac{1}{2} \)

• Неравенство \( \cos x \ge \frac{1}{2} \) выполняется на отрезке от \( -\frac{\pi}{3} \) до \( \frac{\pi}{3} \) и с учетом периодичности \( 2\pi \).

Ответ: \( D(y) = \left[ -\frac{\pi}{3} + 2\pi n; \frac{\pi}{3} + 2\pi n \right], \quad n \in \mathbb{Z} \).

Функция содержит квадратный корень, поэтому подкоренное выражение должно быть неотрицательным.

• Требуется условие: \( 1 - 2 \sin x \ge 0 \)

• Перенесем \( -2 \sin x \) в правую часть:
  \( 1 \ge 2 \sin x \)

• Разделим на 2:
  \( \sin x \le \frac{1}{2} \)

• Неравенство \( \sin x \le \frac{1}{2} \) выполняется на отрезке от \( -\pi - \frac{\pi}{6} \) (или \( -\frac{7\pi}{6} \)) до \( \frac{\pi}{6} \) и с учетом периодичности \( 2\pi \).

Ответ: \( D(y) = \left[ -\frac{7\pi}{6} + 2\pi n; \frac{\pi}{6} + 2\pi n \right], \quad n \in \mathbb{Z} \).

Функция содержит натуральный логарифм (\( \ln \)), поэтому выражение под логарифмом должно быть строго положительным.

• Требуется условие: \( \cos x > 0 \)

• Косинус положителен в I и IV четвертях тригонометрического круга. Решение неравенства \( \cos x > 0 \) в общем виде:
  \( -\frac{\pi}{2} + 2\pi n < x < \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \)

Ответ: \( D(y) = \left\{ x \in \mathbb{R} \mid -\frac{\pi}{2} + 2\pi n < x < \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \right\} \) (где \( n \in \mathbb{Z} \)).