ГДЗ: Упражнение 695 - § 38 (Область определения и множество значений тригонометрических функций) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Функция является дробью, поэтому знаменатель не должен быть равен нулю.

• Требуется условие: \( 2 \sin^2 x - \sin x \neq 0 \)

• Вынесем \( \sin x \) за скобки:
  \( \sin x (2 \sin x - 1) \neq 0 \)

• Это неравенство эквивалентно двум условиям:
  1) \( \sin x \neq 0 \)
  2) \( 2 \sin x - 1 \neq 0 \), то есть \( 2 \sin x \neq 1 \), или \( \sin x \neq \frac{1}{2} \)

• Решения \( \sin x = 0 \) дают \( x = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \).

• Решения \( \sin x = \frac{1}{2} \) дают \( x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k \) и \( x = \pi - \frac{\pi}{6} + 2\pi k = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \).

• Область определения — все действительные числа, кроме найденных значений.

Ответ: \( D(y) = \left\{ x \in \mathbb{R} \mid x \neq \pi n, \quad x \neq \frac{\pi}{6} + 2\pi k, \quad x \neq \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \quad n, k \in \mathbb{Z} \right\} \).

Функция является дробью, поэтому знаменатель не должен быть равен нулю. Используем формулу косинуса двойного угла: \( \cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x \).

• Преобразуем знаменатель: \( \cos^2 x - \sin^2 x = \cos 2x \).

• Требуется условие: \( \cos 2x \neq 0 \)

• Решения \( \cos 2x = 0 \) дают \( 2x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \).

• Разделим на 2:
  \( x = \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{2} + \pi n \right) = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, \quad n \in \mathbb{Z} \).

• Область определения — все действительные числа, кроме найденных значений.

Ответ: \( D(y) = \left\{ x \in \mathbb{R} \mid x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, \quad n \in \mathbb{Z} \right\} \).

Функция является дробью, поэтому знаменатель не должен быть равен нулю. Используем формулу разности синусов: \( \sin \alpha - \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha - \beta}{2} \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \).

• Преобразуем знаменатель: \( \sin x - \sin 3x = 2 \sin \frac{x - 3x}{2} \cos \frac{x + 3x}{2} = 2 \sin (-x) \cos (2x) \).

• Поскольку \( \sin (-x) = -\sin x \), получаем: \( -2 \sin x \cos 2x \).

• Требуется условие: \( -2 \sin x \cos 2x \neq 0 \)

• Это эквивалентно двум условиям:
  1) \( \sin x \neq 0 \), что дает \( x \neq \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \).
  2) \( \cos 2x \neq 0 \), что дает \( 2x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k \), или \( x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z} \).

Ответ: \( D(y) = \left\{ x \in \mathbb{R} \mid x \neq \pi n, \quad x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, \quad n, k \in \mathbb{Z} \right\} \).

Функция является дробью, поэтому знаменатель не должен быть равен нулю.

• Требуется условие: \( \cos^3 x + \cos x \neq 0 \)

• Вынесем \( \cos x \) за скобки:
  \( \cos x (\cos^2 x + 1) \neq 0 \)

• Это неравенство эквивалентно двум условиям:
  1) \( \cos x \neq 0 \)
  2) \( \cos^2 x + 1 \neq 0 \)

• Условие 2) выполняется всегда, так как \( \cos^2 x \ge 0 \), и, следовательно, \( \cos^2 x + 1 \ge 1 \), что всегда не равно нулю.

• Остается только условие 1): \( \cos x \neq 0 \).

• Решения \( \cos x = 0 \) дают \( x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \).

Ответ: \( D(y) = \left\{ x \in \mathbb{R} \mid x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \right\} \).