ГДЗ: Упражнение 699 - § 38 (Область определения и множество значений тригонометрических функций) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Преобразуем функцию, используя формулы двойного угла и формулы понижения степени.

• Используем основное тригонометрическое тождество \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \) и формулу двойного угла для синуса \( \sin 2x = 2 \sin x \cos x \).

• Выделим слагаемое \( 2 \cos^2 x \) (чтобы объединить с \( 2 \sin^2 x \)):
  \( y = 8 \cos^2 x + 2 \cos^2 x - 6 \sin x \cos x + 2 \sin^2 x \)
  \( y = 8 \cos^2 x + 2 (\cos^2 x + \sin^2 x) - 3 (2 \sin x \cos x) \)
  \( y = 8 \cos^2 x + 2 \cdot 1 - 3 \sin 2x \)
  \( y = 8 \cos^2 x - 3 \sin 2x + 2 \)

• Используем формулу понижения степени для \( \cos^2 x \): \( \cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2} \):
  \( y = 8 \left( \frac{1 + \cos 2x}{2} \right) - 3 \sin 2x + 2 \)
  \( y = 4 (1 + \cos 2x) - 3 \sin 2x + 2 \)
  \( y = 4 + 4 \cos 2x - 3 \sin 2x + 2 \)
  \( y = 4 \cos 2x - 3 \sin 2x + 6 \)

• Теперь задача сводится к нахождению множества значений функции \( f(x) = 4 \cos 2x - 3 \sin 2x \), а затем прибавлению 6.

• Для \( f(x) = a \cos u + b \sin u \), где \( a=4 \), \( b=-3 \), множество значений: \( [-\sqrt{a^2+b^2}; \sqrt{a^2+b^2}] \).

• Вычислим \( \sqrt{a^2+b^2} \):
  \( \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \)

• Множество значений для \( 4 \cos 2x - 3 \sin 2x \) — это \( [-5; 5] \).

• Для функции \( y = 4 \cos 2x - 3 \sin 2x + 6 \) прибавим 6 ко всем границам интервала:
  \( -5 + 6 \le y \le 5 + 6 \)
  \( 1 \le y \le 11 \)

Ответ: \( E(y) = [1; 11] \).