ГДЗ: Упражнение 696 - § 38 (Область определения и множество значений тригонометрических функций) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Преобразуем функцию, используя основное тригонометрическое тождество \( \sin^2 x = 1 - \cos^2 x \) или формулу понижения степени \( \sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2} \).

• Используем формулу понижения степени:
  \( y = 2 \left( \frac{1 - \cos 2x}{2} \right) - \cos 2x \)
  \( y = (1 - \cos 2x) - \cos 2x \)
  \( y = 1 - 2 \cos 2x \)

• Найдем множество значений функции \( y = 1 - 2 \cos 2x \).

• Начнем с множества значений \( \cos 2x \):
  \( -1 \le \cos 2x \le 1 \)

• Умножим на \( -2 \) (знаки неравенства меняются):
  \( (-2) \cdot (-1) \ge -2 \cos 2x \ge (-2) \cdot 1 \)
  \( 2 \ge -2 \cos 2x \ge -2 \), или \( -2 \le -2 \cos 2x \le 2 \)

• Прибавим 1:
  \( 1 - 2 \le 1 - 2 \cos 2x \le 1 + 2 \)
  \( -1 \le y \le 3 \)

Ответ: \( E(y) = [-1; 3] \).

Преобразуем функцию, используя формулу синуса двойного угла: \( \sin 2x = 2 \sin x \cos x \), откуда \( (\sin x \cos x)^2 = \left( \frac{1}{2} \sin 2x \right)^2 = \frac{1}{4} \sin^2 2x \).

• Преобразуем выражение:
  \( y = 1 - 8 (\sin x \cos x)^2 \)
  \( y = 1 - 8 \left( \frac{1}{4} \sin^2 2x \right) \)
  \( y = 1 - 2 \sin^2 2x \)

• Далее используем формулу косинуса двойного угла: \( \cos 2\alpha = 1 - 2 \sin^2 \alpha \).

• Если \( \alpha = 2x \), то \( \cos (2 \cdot 2x) = 1 - 2 \sin^2 2x \), или \( \cos 4x = 1 - 2 \sin^2 2x \).

• Таким образом, \( y = 1 - 2 \sin^2 2x = \cos 4x \).

• Множество значений функции \( \cos 4x \) — это отрезок \( [-1; 1] \).

Ответ: \( E(y) = [-1; 1] \).

Разделим дробь на два слагаемых, а затем используем формулу понижения степени: \( \cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2} \).

• Преобразуем функцию:
  \( y = \frac{1}{4} + \frac{8 \cos^2 x}{4} = \frac{1}{4} + 2 \cos^2 x \)

• Подставим формулу понижения степени:
  \( y = \frac{1}{4} + 2 \left( \frac{1 + \cos 2x}{2} \right) \)
  \( y = \frac{1}{4} + (1 + \cos 2x) \)
  \( y = 1.25 + \cos 2x \)

• Найдем множество значений функции \( y = 1.25 + \cos 2x \).

• Начнем с множества значений \( \cos 2x \):
  \( -1 \le \cos 2x \le 1 \)

• Прибавим \( 1.25 \):
  \( 1.25 - 1 \le 1.25 + \cos 2x \le 1.25 + 1 \)
  \( 0.25 \le y \le 2.25 \)

Ответ: \( E(y) = [0.25; 2.25] \) или \( \left[\frac{1}{4}; \frac{9}{4}\right] \).

Множество значений функции \( y = 10 - 9 \sin^2 3x \) зависит от множества значений функции \( \sin^2 3x \).

• Функция \( \sin 3x \) принимает значения в отрезке \( [-1; 1] \).

• Функция \( \sin^2 3x \) (квадрат синуса) принимает значения в отрезке \( [0; 1] \):
  \( 0 \le \sin^2 3x \le 1 \)

• Умножим все части на \( -9 \) (знаки неравенства меняются):
  \( -9 \cdot 0 \ge -9 \sin^2 3x \ge -9 \cdot 1 \)
  \( 0 \ge -9 \sin^2 3x \ge -9 \), или \( -9 \le -9 \sin^2 3x \le 0 \)

• Прибавим 10:
  \( 10 - 9 \le 10 - 9 \sin^2 3x \le 10 + 0 \)
  \( 1 \le y \le 10 \)

Ответ: \( E(y) = [1; 10] \).

Множество значений функции \( y = 1 - 2 |\cos x| \) зависит от множества значений функции \( |\cos x| \).

• Функция \( \cos x \) принимает значения в отрезке \( [-1; 1] \).

• Функция \( |\cos x| \) (модуль косинуса) принимает значения в отрезке \( [0; 1] \):
  \( 0 \le |\cos x| \le 1 \)

• Умножим все части на \( -2 \) (знаки неравенства меняются):
  \( -2 \cdot 0 \ge -2 |\cos x| \ge -2 \cdot 1 \)
  \( 0 \ge -2 |\cos x| \ge -2 \), или \( -2 \le -2 |\cos x| \le 0 \)

• Прибавим 1:
  \( 1 - 2 \le 1 - 2 |\cos x| \le 1 + 0 \)
  \( -1 \le y \le 1 \)

Ответ: \( E(y) = [-1; 1] \).

Преобразуем функцию, используя формулу суммы синусов: \( \sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2} \).

• Применим формулу к \( y = \sin x + \sin \left( x + \frac{\pi}{3} \right) \):
  Сумма аргументов: \( x + \left( x + \frac{\pi}{3} \right) = 2x + \frac{\pi}{3} \)
  Разность аргументов: \( x - \left( x + \frac{\pi}{3} \right) = -\frac{\pi}{3} \)

• Получаем:
  \( y = 2 \sin \left( \frac{2x + \frac{\pi}{3}}{2} \right) \cos \left( \frac{-\frac{\pi}{3}}{2} \right) \)
  \( y = 2 \sin \left( x + \frac{\pi}{6} \right) \cos \left( -\frac{\pi}{6} \right) \)

• Так как \( \cos (-\alpha) = \cos \alpha \) и \( \cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} \):
  \( y = 2 \sin \left( x + \frac{\pi}{6} \right) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \)
  \( y = \sqrt{3} \sin \left( x + \frac{\pi}{6} \right) \)

• Найдем множество значений функции \( y = \sqrt{3} \sin \left( x + \frac{\pi}{6} \right) \).

• Начнем с множества значений \( \sin \left( x + \frac{\pi}{6} \right) \):
  \( -1 \le \sin \left( x + \frac{\pi}{6} \right) \le 1 \)

• Умножим на \( \sqrt{3} \):
  \( -\sqrt{3} \le \sqrt{3} \sin \left( x + \frac{\pi}{6} \right) \le \sqrt{3} \)
  \( -\sqrt{3} \le y \le \sqrt{3} \)

Ответ: \( E(y) = [-\sqrt{3}; \sqrt{3}] \).