Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 63 / Задание 1080

ГДЗ: Упражнение 1080 - § 63 (Сочетания и их свойства) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 326, 329

Глава:	Глава 11
Параграф:	§ 63 - Сочетания и их свойства
Учебник:	Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор:	Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год:	2025
Издание:

1080 упражнение:

Найти значение:

1) \( C_7^1 \)

Пояснение: Используем формулу для числа сочетаний \( C_n^k = \frac{n!}{k! (n-k)!} \) или частный случай, когда \( k=1 \), а именно \( C_n^1 = n \).
Шаг 1: Подставляем значения \( n=7 \) и \( k=1 \) в частный случай формулы.

\( C_7^1 = 7 \)

Шаг 2 (Проверка по основной формуле):

\( C_7^1 = \frac{7!}{1! (7-1)!} = \frac{7!}{1! 6!} = \frac{7 \cdot 6!}{1 \cdot 6!} = 7 \)

Ответ: 7

2) \( C_8^2 \)

Пояснение: Используем формулу числа сочетаний \( C_n^k = \frac{n!}{k! (n-k)!} \) для \( n=8 \) и \( k=2 \).
Шаг 1: Подставляем значения в формулу:

\( C_8^2 = \frac{8!}{2! (8-2)!} = \frac{8!}{2! 6!} \)

Шаг 2: Вычисляем факториалы:

\( C_8^2 = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6!}{2 \cdot 1 \cdot 6!} = \frac{8 \cdot 7}{2} \)

Шаг 3: Упрощаем:

\( C_8^2 = 4 \cdot 7 = 28 \)

Ответ: 28

3) \( C_8^3 \)

Пояснение: Используем формулу числа сочетаний \( C_n^k = \frac{n!}{k! (n-k)!} \) для \( n=8 \) и \( k=3 \).
Шаг 1: Подставляем значения в формулу:

\( C_8^3 = \frac{8!}{3! (8-3)!} = \frac{8!}{3! 5!} \)

Шаг 2: Вычисляем факториалы:

\( C_8^3 = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!}{3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 5!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{6} \)

Шаг 3: Упрощаем:

\( C_8^3 = 8 \cdot 7 = 56 \)

Ответ: 56

4) \( C_{10}^2 \)

Пояснение: Используем формулу числа сочетаний \( C_n^k = \frac{n!}{k! (n-k)!} \) для \( n=10 \) и \( k=2 \).
Шаг 1: Подставляем значения в формулу:

\( C_{10}^2 = \frac{10!}{2! (10-2)!} = \frac{10!}{2! 8!} \)

Шаг 2: Вычисляем факториалы:

\( C_{10}^2 = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8!}{2 \cdot 1 \cdot 8!} = \frac{10 \cdot 9}{2} \)

Шаг 3: Упрощаем:

\( C_{10}^2 = 5 \cdot 9 = 45 \)

Ответ: 45

5) \( C_9^4 \)

Пояснение: Используем формулу числа сочетаний \( C_n^k = \frac{n!}{k! (n-k)!} \) для \( n=9 \) и \( k=4 \).
Шаг 1: Подставляем значения в формулу:

\( C_9^4 = \frac{9!}{4! (9-4)!} = \frac{9!}{4! 5!} \)

Шаг 2: Вычисляем факториалы:

\( C_9^4 = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 5!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{24} \)

Шаг 3: Упрощаем:

\( C_9^4 = 9 \cdot 7 \cdot \frac{48}{24} = 9 \cdot 7 \cdot 2 = 126 \)

Ответ: 126

6) \( C_9^5 \)

Пояснение: Используем свойство симметрии чисел сочетаний \( C_n^k = C_n^{n-k} \) для \( n=9 \) и \( k=5 \).
Шаг 1: Применяем свойство симметрии:

\( C_9^5 = C_9^{9-5} = C_9^4 \)

Шаг 2: Вычисляем \( C_9^4 \) (значение уже найдено в варианте 5):

\( C_9^4 = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 126 \)

Ответ: 126

7) \( C_{10}^{10} \)

Пояснение: Используем частный случай (краевое значение) для числа сочетаний \( C_n^n \).
Шаг 1: По определению, число способов выбрать \( n \) элементов из \( n \) равно 1, то есть \( C_n^n = 1 \).

\( C_{10}^{10} = 1 \)

Ответ: 1

8) \( C_{10}^0 \)

Пояснение: Используем частный случай (краевое значение) для числа сочетаний \( C_n^0 \).
Шаг 1: По определению, число способов выбрать \( 0 \) элементов из \( n \) равно 1, то есть \( C_n^0 = 1 \).

\( C_{10}^0 = 1 \)

Ответ: 1

9) \( C_{15}^{15} \)

\( C_{15}^{15} = 1 \)

Ответ: 1

10) \( C_{12}^{12} \)

\( C_{12}^{12} = 1 \)

Ответ: 1

11) \( C_{20}^0 \)

\( C_{20}^0 = 1 \)

Ответ: 1

12) \( C_{12}^0 \)

\( C_{12}^0 = 1 \)

Ответ: 1

13) \( C_{48}^{48} \)

\( C_{48}^{48} = 1 \)

Ответ: 1

14) \( C_{50}^{49} \)

Пояснение: Используем свойство симметрии чисел сочетаний \( C_n^k = C_n^{n-k} \) для \( n=50 \) и \( k=49 \).
Шаг 1: Применяем свойство симметрии:

\( C_{50}^{49} = C_{50}^{50-49} = C_{50}^1 \)

Шаг 2: Используем частный случай \( C_n^1 = n \):

\( C_{50}^1 = 50 \)

Ответ: 50

15) \( C_{70}^{70} \)

\( C_{70}^{70} = 1 \)

Ответ: 1

16) \( C_{60}^{60} \)

\( C_{60}^{60} = 1 \)

Ответ: 1

Что применять при решении

Число сочетаний (Комбинации)

Число способов выбрать \( k \) элементов из множества, содержащего \( n \) различных элементов, без учёта порядка. Формула для вычисления числа сочетаний.

\( C_n^k = \frac{n!}{k! (n-k)!} \)

Свойство симметрии сочетаний

Число сочетаний \( k \) элементов из \( n \) равно числу сочетаний \( n-k \) элементов из \( n \). Это отражает тот факт, что выбрать \( k \) элементов эквивалентно выбору \( n-k \) элементов, которые остаются.

\( C_n^k = C_n^{n-k} \)

Основное тождество для чисел сочетаний

Правило сложения, связывающее числа сочетаний. Оно лежит в основе построения треугольника Паскаля.

\( C_n^k = C_{n-1}^{k-1} + C_{n-1}^k \)

Сумма чисел сочетаний

Сумма чисел сочетаний для фиксированного \( n \) равна \( 2^n \), что соответствует общему числу подмножеств в множестве из \( n \) элементов.

\( \sum_{k=0}^n C_n^k = 2^n \)

Задали создать проект?

Создай с помощью ИИ за 5 минут

До 90% уникальность

Готовый файл Word

15-30 страниц

Список источников по ГОСТ

Оформление по ГОСТ

Таблицы и схемы

Создать

Другие упражнения из параграфа § 63

1080 1081 1082 1083 1084 1085 1086 1087 1088 1089 1090 1091

Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.