Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 63 / Задание 1089

ГДЗ: Упражнение 1089 - § 63 (Сочетания и их свойства) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 326, 329
Глава: Глава 11
Параграф: § 63 - Сочетания и их свойства
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

1089 упражнение:

В школьном хоре 7 девочек и 4 мальчика. Сколькими способами можно составить состав хора для участия в районном смотре: 1) 5 девочек и 2 мальчиков; 2) 4 девочек и 3 мальчиков?

1) 5 девочек и 2 мальчиков

Пояснение: Выбор девочек и мальчиков независим. Используем правило умножения.
Шаг 1: Выбираем 5 девочек из 7:

  • \( C_7^5 = C_7^{7-5} = C_7^2 = \frac{7 \cdot 6}{2} = 21 \) способ.
    • Шаг 2: Выбираем 2 мальчиков из 4:
  • \( C_4^2 = \frac{4 \cdot 3}{2} = 6 \) способов.
    • Шаг 3: Умножаем число способов:
  • \( C_7^5 \cdot C_4^2 = 21 \cdot 6 = 126 \)

    • Таким образом, состав хора можно составить 126 способами.

    Ответ: 126 способами.

    2) 4 девочек и 3 мальчиков

    Пояснение: Выбор девочек и мальчиков независим. Используем правило умножения.
    Шаг 1: Выбираем 4 девочек из 7:

  • \( C_7^4 = C_7^{7-4} = C_7^3 = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 35 \) способов.
    • Шаг 2: Выбираем 3 мальчиков из 4:
  • \( C_4^3 = C_4^{4-3} = C_4^1 = 4 \) способа.
    • Шаг 3: Умножаем число способов:
  • \( C_7^4 \cdot C_4^3 = 35 \cdot 4 = 140 \)

    • Таким образом, состав хора можно составить 140 способами.

    Ответ: 140 способами.

    Что применять при решении

    Число сочетаний (Комбинации)
    Число способов выбрать \( k \) элементов из множества, содержащего \( n \) различных элементов, без учёта порядка. Формула для вычисления числа сочетаний.
    \( C_n^k = \frac{n!}{k! (n-k)!} \)
    Свойство симметрии сочетаний
    Число сочетаний \( k \) элементов из \( n \) равно числу сочетаний \( n-k \) элементов из \( n \). Это отражает тот факт, что выбрать \( k \) элементов эквивалентно выбору \( n-k \) элементов, которые остаются.
    \( C_n^k = C_n^{n-k} \)
    Основное тождество для чисел сочетаний
    Правило сложения, связывающее числа сочетаний. Оно лежит в основе построения треугольника Паскаля.
    \( C_n^k = C_{n-1}^{k-1} + C_{n-1}^k \)
    Сумма чисел сочетаний
    Сумма чисел сочетаний для фиксированного \( n \) равна \( 2^n \), что соответствует общему числу подмножеств в множестве из \( n \) элементов.
    \( \sum_{k=0}^n C_n^k = 2^n \)

    Задали создать проект?

    Создай с помощью ИИ за 5 минут

    До 90% уникальность
    Готовый файл Word
    15-30 страниц
    Список источников по ГОСТ
    Оформление по ГОСТ
    Таблицы и схемы

    Другие упражнения из параграфа § 63

    1080 1081 1082 1083 1084 1085 1086 1087 1088 1089 1090 1091
    Уведомление об авторском праве и цитировании

    ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

    Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

    В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.