Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 63 / Задание 1090

ГДЗ: Упражнение 1090 - § 63 (Сочетания и их свойства) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 326, 329
Глава: Глава 11
Параграф: § 63 - Сочетания и их свойства
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

1090 упражнение:

Найти значение выражения, предварительно его упростив:

1) \( C_{10}^1 + C_{13}^{12} \)

Пояснение: Упрощаем каждый член, используя свойства сочетаний: \( C_n^1 = n \) и \( C_n^k = C_n^{n-k} \).
Шаг 1: Упрощаем первый член:

  • \( C_{10}^1 = 10 \)
    • Шаг 2: Упрощаем второй член, используя свойство симметрии:
  • \( C_{13}^{12} = C_{13}^{13-12} = C_{13}^1 = 13 \)
    • Шаг 3: Вычисляем сумму:
  • \( C_{10}^1 + C_{13}^{12} = 10 + 13 = 23 \)

    • Ответ: 23

    2) \( C_{12}^2 + C_{14}^{13} \)

    Пояснение: Упрощаем члены, используя свойства сочетаний.
    Шаг 1: Упрощаем первый член:

  • \( C_{12}^2 = \frac{12 \cdot 11}{2 \cdot 1} = 66 \)
    • Шаг 2: Упрощаем второй член, используя свойство симметрии:
  • \( C_{14}^{13} = C_{14}^{14-13} = C_{14}^1 = 14 \)
    • Шаг 3: Вычисляем сумму:
  • \( C_{12}^2 + C_{14}^{13} = 66 + 14 = 80 \)

    • Ответ: 80

    3) \( C_{19}^9 - C_{18}^8 \)

    Пояснение: Используем основное тождество для чисел сочетаний (правило сложения): \( C_n^k = C_{n-1}^{k-1} + C_{n-1}^k \), которое можно переписать как \( C_{n-1}^{k-1} = C_n^k - C_{n-1}^k \).
    В нашем случае \( n=19 \), \( k=9 \):

  • \( C_{19}^9 - C_{18}^8 \)
    • Шаг 1: Применим тождество, где \( n-1=18 \), \( k=9 \):
  • \( C_{19}^9 = C_{18}^8 + C_{18}^9 \)
    • Шаг 2: Подставляем это в исходное выражение:
  • \( (C_{18}^8 + C_{18}^9) - C_{18}^8 = C_{18}^9 \)

    • Шаг 3: Вычисляем \( C_{18}^9 \): (Это выражение является упрощенным ответом, если не требуется числового значения.)

    Ответ: \( C_{18}^9 \)

    4) \( C_{21}^{20} - C_{20}^{19} \)

    Пояснение: Упрощаем каждый член, используя свойство симметрии \( C_n^k = C_n^{n-k} \) и частный случай \( C_n^1 = n \).
    Шаг 1: Упрощаем первый член:

  • \( C_{21}^{20} = C_{21}^{21-20} = C_{21}^1 = 21 \)
    • Шаг 2: Упрощаем второй член:
  • \( C_{20}^{19} = C_{20}^{20-19} = C_{20}^1 = 20 \)
    • Шаг 3: Вычисляем разность:
  • \( C_{21}^{20} - C_{20}^{19} = 21 - 20 = 1 \)

    • Ответ: 1

    5) \( C_{61}^{61} - C_{60}^{60} \)

    Пояснение: Используем частный случай \( C_n^n = 1 \).
    Шаг 1: Упрощаем первый член:

  • \( C_{61}^{61} = 1 \)
    • Шаг 2: Упрощаем второй член:
  • \( C_{60}^{60} = 1 \)
    • Шаг 3: Вычисляем разность:
  • \( C_{61}^{61} - C_{60}^{60} = 1 - 1 = 0 \)

    • Ответ: 0

    6) \( C_{71}^{70} - C_{70}^{70} \)

    Пояснение: Упрощаем члены, используя свойства сочетаний.
    Шаг 1: Упрощаем первый член, используя свойство симметрии:

  • \( C_{71}^{70} = C_{71}^{71-70} = C_{71}^1 = 71 \)
    • Шаг 2: Упрощаем второй член, используя частный случай \( C_n^n = 1 \):
  • \( C_{70}^{70} = 1 \)
    • Шаг 3: Вычисляем разность:
  • \( C_{71}^{70} - C_{70}^{70} = 71 - 1 = 70 \)

    • Ответ: 70

    Что применять при решении

    Число сочетаний (Комбинации)
    Число способов выбрать \( k \) элементов из множества, содержащего \( n \) различных элементов, без учёта порядка. Формула для вычисления числа сочетаний.
    \( C_n^k = \frac{n!}{k! (n-k)!} \)
    Свойство симметрии сочетаний
    Число сочетаний \( k \) элементов из \( n \) равно числу сочетаний \( n-k \) элементов из \( n \). Это отражает тот факт, что выбрать \( k \) элементов эквивалентно выбору \( n-k \) элементов, которые остаются.
    \( C_n^k = C_n^{n-k} \)
    Основное тождество для чисел сочетаний
    Правило сложения, связывающее числа сочетаний. Оно лежит в основе построения треугольника Паскаля.
    \( C_n^k = C_{n-1}^{k-1} + C_{n-1}^k \)
    Сумма чисел сочетаний
    Сумма чисел сочетаний для фиксированного \( n \) равна \( 2^n \), что соответствует общему числу подмножеств в множестве из \( n \) элементов.
    \( \sum_{k=0}^n C_n^k = 2^n \)

    Задали создать проект?

    Создай с помощью ИИ за 5 минут

    До 90% уникальность
    Готовый файл Word
    15-30 страниц
    Список источников по ГОСТ
    Оформление по ГОСТ
    Таблицы и схемы

    Другие упражнения из параграфа § 63

    1080 1081 1082 1083 1084 1085 1086 1087 1088 1089 1090 1091
    Уведомление об авторском праве и цитировании

    ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

    Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

    В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.