Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 63 / Задание 1083

ГДЗ: Упражнение 1083 - § 63 (Сочетания и их свойства) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 326, 329
Глава: Глава 11
Параграф: § 63 - Сочетания и их свойства
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

1083 упражнение:

В помещении 16 ламп. Сколько существует вариантов его освещения, если одновременно должны светиться: 1) 15 ламп; 2) 14 ламп?

1) 15 ламп

Пояснение: Выбор \( k=15 \) ламп из \( n=16 \) — это сочетания, так как порядок включения ламп не важен.
Шаг 1: Используем свойство симметрии \( C_n^k = C_n^{n-k} \):

  • \( C_{16}^{15} = C_{16}^{16-15} = C_{16}^1 \)
    • Шаг 2: Используем частный случай \( C_n^1 = n \):
  • \( C_{16}^1 = 16 \)

    • Альтернативное объяснение: Выбор 15 ламп эквивалентен выбору 1 лампы, которая останется выключенной. Из 16 ламп есть 16 вариантов выбора одной выключенной лампы.
    Таким образом, существует 16 вариантов освещения.

    Ответ: 16 вариантов.

    2) 14 ламп

    Пояснение: Выбор \( k=14 \) ламп из \( n=16 \) — это сочетания, так как порядок включения ламп не важен.
    Шаг 1: Используем свойство симметрии \( C_n^k = C_n^{n-k} \):

  • \( C_{16}^{14} = C_{16}^{16-14} = C_{16}^2 \)
    • Шаг 2: Вычисляем \( C_{16}^2 \):
  • \( C_{16}^2 = \frac{16!}{2! (16-2)!} = \frac{16!}{2! 14!} = \frac{16 \cdot 15}{2 \cdot 1} = 8 \cdot 15 = 120 \)

    • Альтернативное объяснение: Выбор 14 ламп эквивалентен выбору 2 ламп, которые останутся выключенными. Число способов выбрать 2 лампы из 16 равно 120.
    Таким образом, существует 120 вариантов освещения.

    Ответ: 120 вариантов.

    Что применять при решении

    Число сочетаний (Комбинации)
    Число способов выбрать \( k \) элементов из множества, содержащего \( n \) различных элементов, без учёта порядка. Формула для вычисления числа сочетаний.
    \( C_n^k = \frac{n!}{k! (n-k)!} \)
    Свойство симметрии сочетаний
    Число сочетаний \( k \) элементов из \( n \) равно числу сочетаний \( n-k \) элементов из \( n \). Это отражает тот факт, что выбрать \( k \) элементов эквивалентно выбору \( n-k \) элементов, которые остаются.
    \( C_n^k = C_n^{n-k} \)
    Основное тождество для чисел сочетаний
    Правило сложения, связывающее числа сочетаний. Оно лежит в основе построения треугольника Паскаля.
    \( C_n^k = C_{n-1}^{k-1} + C_{n-1}^k \)
    Сумма чисел сочетаний
    Сумма чисел сочетаний для фиксированного \( n \) равна \( 2^n \), что соответствует общему числу подмножеств в множестве из \( n \) элементов.
    \( \sum_{k=0}^n C_n^k = 2^n \)

    Задали создать проект?

    Создай с помощью ИИ за 5 минут

    До 90% уникальность
    Готовый файл Word
    15-30 страниц
    Список источников по ГОСТ
    Оформление по ГОСТ
    Таблицы и схемы

    Другие упражнения из параграфа § 63

    1080 1081 1082 1083 1084 1085 1086 1087 1088 1089 1090 1091
    Уведомление об авторском праве и цитировании

    ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

    Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

    В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.