Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 63 / Задание 1082

ГДЗ: Упражнение 1082 - § 63 (Сочетания и их свойства) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 326, 329
Глава: Глава 11
Параграф: § 63 - Сочетания и их свойства
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

1082 упражнение:

Сколько различных аккордов, содержащих: 1) 4 звука; 2) 3 звука, можно образовать из 12 клавиш одной октавы?

1) 4 звука

Пояснение: Аккорд — это сочетание звуков, где порядок их выбора не важен. Выбираем \( k=4 \) звука из \( n=12 \) доступных клавиш.
Используем формулу числа сочетаний \( C_{12}^4 \).
Шаг 1: Вычисляем:

  • \( C_{12}^4 = \frac{12!}{4! (12-4)!} = \frac{12!}{4! 8!} \)
    • Шаг 2: Упрощаем:
  • \( C_{12}^4 = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9}{24} \)
    • Шаг 3: Выполняем деление:
  • \( C_{12}^4 = \frac{12}{24} \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 = \frac{1}{2} \cdot 990 = 495 \)

    • Таким образом, можно образовать 495 аккордов, содержащих 4 звука.

    Ответ: 495 аккордов.

    2) 3 звука

    Пояснение: Аккорд — это сочетание звуков, где порядок их выбора не важен. Выбираем \( k=3 \) звука из \( n=12 \) доступных клавиш.
    Используем формулу числа сочетаний \( C_{12}^3 \).
    Шаг 1: Вычисляем:

  • \( C_{12}^3 = \frac{12!}{3! (12-3)!} = \frac{12!}{3! 9!} \)
    • Шаг 2: Упрощаем:
  • \( C_{12}^3 = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9!}{3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 9!} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10}{6} \)
    • Шаг 3: Выполняем деление:
  • \( C_{12}^3 = 2 \cdot 11 \cdot 10 = 220 \)

    • Таким образом, можно образовать 220 аккордов, содержащих 3 звука.

    Ответ: 220 аккордов.

    Что применять при решении

    Число сочетаний (Комбинации)
    Число способов выбрать \( k \) элементов из множества, содержащего \( n \) различных элементов, без учёта порядка. Формула для вычисления числа сочетаний.
    \( C_n^k = \frac{n!}{k! (n-k)!} \)
    Свойство симметрии сочетаний
    Число сочетаний \( k \) элементов из \( n \) равно числу сочетаний \( n-k \) элементов из \( n \). Это отражает тот факт, что выбрать \( k \) элементов эквивалентно выбору \( n-k \) элементов, которые остаются.
    \( C_n^k = C_n^{n-k} \)
    Основное тождество для чисел сочетаний
    Правило сложения, связывающее числа сочетаний. Оно лежит в основе построения треугольника Паскаля.
    \( C_n^k = C_{n-1}^{k-1} + C_{n-1}^k \)
    Сумма чисел сочетаний
    Сумма чисел сочетаний для фиксированного \( n \) равна \( 2^n \), что соответствует общему числу подмножеств в множестве из \( n \) элементов.
    \( \sum_{k=0}^n C_n^k = 2^n \)

    Задали создать проект?

    Создай с помощью ИИ за 5 минут

    До 90% уникальность
    Готовый файл Word
    15-30 страниц
    Список источников по ГОСТ
    Оформление по ГОСТ
    Таблицы и схемы

    Другие упражнения из параграфа § 63

    1080 1081 1082 1083 1084 1085 1086 1087 1088 1089 1090 1091
    Уведомление об авторском праве и цитировании

    ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

    Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

    В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.