Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 63 / Задание 1081

ГДЗ: Упражнение 1081 - § 63 (Сочетания и их свойства) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 326, 329
Глава: Глава 11
Параграф: § 63 - Сочетания и их свойства
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

1081 упражнение:

Сколькими способами для участия в конференции из 9 членов научного общества можно выбрать: 1) троих студентов; 2) четверых студентов?

1) троих студентов

Пояснение: Задачу можно решить с помощью числа сочетаний, так как порядок выбора студентов не важен. Выбираем \( k=3 \) студентов из \( n=9 \) членов общества.
Используем формулу: \( C_n^k = \frac{n!}{k! (n-k)!} \).
Шаг 1: Определяем число сочетаний для выбора 3 студентов из 9:

  • \( C_9^3 = \frac{9!}{3! (9-3)!} = \frac{9!}{3! 6!} \)
    • Шаг 2: Вычисляем:
  • \( C_9^3 = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6!}{3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 6!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7}{6} = 3 \cdot 4 \cdot 7 = 84 \)

    • Таким образом, выбрать троих студентов можно 84 способами.

    Ответ: 84 способами.

    2) четверых студентов

    Пояснение: Задачу можно решить с помощью числа сочетаний, так как порядок выбора студентов не важен. Выбираем \( k=4 \) студентов из \( n=9 \) членов общества.
    Используем формулу: \( C_n^k = \frac{n!}{k! (n-k)!} \).
    Шаг 1: Определяем число сочетаний для выбора 4 студентов из 9:

  • \( C_9^4 = \frac{9!}{4! (9-4)!} = \frac{9!}{4! 5!} \)
    • Шаг 2: Вычисляем:
  • \( C_9^4 = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 5!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{24} = 9 \cdot 7 \cdot 2 = 126 \)

    • Таким образом, выбрать четверых студентов можно 126 способами.

    Ответ: 126 способами.

    Что применять при решении

    Число сочетаний (Комбинации)
    Число способов выбрать \( k \) элементов из множества, содержащего \( n \) различных элементов, без учёта порядка. Формула для вычисления числа сочетаний.
    \( C_n^k = \frac{n!}{k! (n-k)!} \)
    Свойство симметрии сочетаний
    Число сочетаний \( k \) элементов из \( n \) равно числу сочетаний \( n-k \) элементов из \( n \). Это отражает тот факт, что выбрать \( k \) элементов эквивалентно выбору \( n-k \) элементов, которые остаются.
    \( C_n^k = C_n^{n-k} \)
    Основное тождество для чисел сочетаний
    Правило сложения, связывающее числа сочетаний. Оно лежит в основе построения треугольника Паскаля.
    \( C_n^k = C_{n-1}^{k-1} + C_{n-1}^k \)
    Сумма чисел сочетаний
    Сумма чисел сочетаний для фиксированного \( n \) равна \( 2^n \), что соответствует общему числу подмножеств в множестве из \( n \) элементов.
    \( \sum_{k=0}^n C_n^k = 2^n \)

    Задали создать проект?

    Создай с помощью ИИ за 5 минут

    До 90% уникальность
    Готовый файл Word
    15-30 страниц
    Список источников по ГОСТ
    Оформление по ГОСТ
    Таблицы и схемы

    Другие упражнения из параграфа § 63

    1080 1081 1082 1083 1084 1085 1086 1087 1088 1089 1090 1091
    Уведомление об авторском праве и цитировании

    ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

    Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

    В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.