Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 63 / Задание 1085

ГДЗ: Упражнение 1085 - § 63 (Сочетания и их свойства) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 326, 329
Глава: Глава 11
Параграф: § 63 - Сочетания и их свойства
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

1085 упражнение:

На окружности отмечено: 1) 10 точек; 2) 12 точек. Сколько различных треугольников с вершинами, выбранными из этих точек, можно построить?

1) 10 точек

Пояснение: Треугольник определяется тремя точками. Так как все точки лежат на окружности, любые три из них не лежат на одной прямой, что гарантирует построение треугольника. Порядок выбора вершин не важен. Выбираем \( k=3 \) точки из \( n=10 \).
Шаг 1: Вычисляем \( C_{10}^3 \):

  • \( C_{10}^3 = \frac{10!}{3! (10-3)!} = \frac{10!}{3! 7!} \)
    • Шаг 2: Упрощаем:
  • \( C_{10}^3 = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 10 \cdot 3 \cdot 4 = 120 \)

    • Таким образом, можно построить 120 различных треугольников.

    Ответ: 120 треугольников.

    2) 12 точек

    Пояснение: Треугольник определяется тремя точками. Все точки лежат на окружности. Выбираем \( k=3 \) точки из \( n=12 \).
    Шаг 1: Вычисляем \( C_{12}^3 \):

  • \( C_{12}^3 = \frac{12!}{3! (12-3)!} = \frac{12!}{3! 9!} \)
    • Шаг 2: Упрощаем:
  • \( C_{12}^3 = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 2 \cdot 11 \cdot 10 = 220 \)

    • Таким образом, можно построить 220 различных треугольников.

    Ответ: 220 треугольников.

    Что применять при решении

    Число сочетаний (Комбинации)
    Число способов выбрать \( k \) элементов из множества, содержащего \( n \) различных элементов, без учёта порядка. Формула для вычисления числа сочетаний.
    \( C_n^k = \frac{n!}{k! (n-k)!} \)
    Свойство симметрии сочетаний
    Число сочетаний \( k \) элементов из \( n \) равно числу сочетаний \( n-k \) элементов из \( n \). Это отражает тот факт, что выбрать \( k \) элементов эквивалентно выбору \( n-k \) элементов, которые остаются.
    \( C_n^k = C_n^{n-k} \)
    Основное тождество для чисел сочетаний
    Правило сложения, связывающее числа сочетаний. Оно лежит в основе построения треугольника Паскаля.
    \( C_n^k = C_{n-1}^{k-1} + C_{n-1}^k \)
    Сумма чисел сочетаний
    Сумма чисел сочетаний для фиксированного \( n \) равна \( 2^n \), что соответствует общему числу подмножеств в множестве из \( n \) элементов.
    \( \sum_{k=0}^n C_n^k = 2^n \)

    Задали создать проект?

    Создай с помощью ИИ за 5 минут

    До 90% уникальность
    Готовый файл Word
    15-30 страниц
    Список источников по ГОСТ
    Оформление по ГОСТ
    Таблицы и схемы

    Другие упражнения из параграфа § 63

    1080 1081 1082 1083 1084 1085 1086 1087 1088 1089 1090 1091
    Уведомление об авторском праве и цитировании

    ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

    Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

    В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.