Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 69 / Задание 1145

ГДЗ: Упражнение 1145 - § 69 (Независимые события. Умножение вероятностей) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 350, 353, 354
Глава: Глава 12
Параграф: § 69 - Независимые события. Умножение вероятностей
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

1145 упражнение:

Выяснить, являются ли события \( A \) и \( B \) независимыми, если:

1) \( P(A) = \frac{2}{5}, P(B) = \frac{10}{13}, P(AB) = \frac{4}{13} \)

Для того чтобы события \( A \) и \( B \) были независимыми, должно выполняться равенство \( P(AB) = P(A) \cdot P(B) \).
Шаг 1: Вычисляем произведение вероятностей \( P(A) \) и \( P(B) \).

  • \( P(A) \cdot P(B) = \frac{2}{5} \cdot \frac{10}{13} = \frac{2 \cdot 10}{5 \cdot 13} = \frac{20}{65} \)

    • Шаг 2: Сокращаем полученную дробь.

  • \( \frac{20}{65} = \frac{4}{13} \) (сокращаем на 5)

    • Шаг 3: Сравниваем произведение с вероятностью совместного наступления \( P(AB) \).

  • Нам дано \( P(AB) = \frac{4}{13} \).
    \( P(A) \cdot P(B) = \frac{4}{13} \).
    Так как \( P(AB) = P(A) \cdot P(B) \), события \( A \) и \( B \) являются независимыми.

    • Ответ: Являются.

    2) \( P(A) = 0,75, P(B) = 0,2, P(AB) = 0,15 \)

    Для независимых событий должно выполняться условие \( P(AB) = P(A) \cdot P(B) \).
    Шаг 1: Вычисляем произведение вероятностей \( P(A) \) и \( P(B) \).

  • \( P(A) \cdot P(B) = 0,75 \cdot 0,2 = 0,15 \)

    • Шаг 2: Сравниваем произведение с вероятностью совместного наступления \( P(AB) \).

  • Нам дано \( P(AB) = 0,15 \).
    Так как \( P(AB) = 0,15 \) и \( P(A) \cdot P(B) = 0,15 \), то \( P(AB) = P(A) \cdot P(B) \). События \( A \) и \( B \) являются независимыми.

    • Ответ: Являются.

    3) \( P(A) = 0,3, P(B) = 0,2, P(AB) = 0,6 \)

    Проверяем условие независимости: \( P(AB) = P(A) \cdot P(B) \).
    Шаг 1: Вычисляем произведение вероятностей \( P(A) \) и \( P(B) \).

  • \( P(A) \cdot P(B) = 0,3 \cdot 0,2 = 0,06 \)

    • Шаг 2: Сравниваем произведение с вероятностью совместного наступления \( P(AB) \).

  • Нам дано \( P(AB) = 0,6 \).
    Так как \( 0,6 \neq 0,06 \), то \( P(AB) \neq P(A) \cdot P(B) \). События \( A \) и \( B \) являются зависимыми.

    • Ответ: Не являются.

    4) \( P(A) = \frac{3}{14}, P(B) = \frac{7}{12}, P(AB) = \frac{1}{4} \)

    Проверяем условие независимости: \( P(AB) = P(A) \cdot P(B) \).
    Шаг 1: Вычисляем произведение вероятностей \( P(A) \) и \( P(B) \).

  • \( P(A) \cdot P(B) = \frac{3}{14} \cdot \frac{7}{12} = \frac{3 \cdot 7}{14 \cdot 12} = \frac{21}{168} \)

    • Шаг 2: Сокращаем полученную дробь.

  • Сократим дробь \( \frac{21}{168} \) на 21 (так как \( 168 = 21 \cdot 8 \)).
    \( \frac{21}{168} = \frac{1}{8} \)

    • Шаг 3: Сравниваем произведение с вероятностью совместного наступления \( P(AB) \).

  • Нам дано \( P(AB) = \frac{1}{4} \).
    Так как \( \frac{1}{4} \neq \frac{1}{8} \), то \( P(AB) \neq P(A) \cdot P(B) \). События \( A \) и \( B \) являются зависимыми.

    • Ответ: Не являются.

    Что применять при решении

    Определение независимых событий
    События \( A \) и \( B \) называют независимыми, если вероятность их совместного наступления (пересечения) равна произведению их вероятностей. Это ключевое условие для умножения вероятностей.
    \( P(AB) = P(A) \cdot P(B) \)
    Вероятность противоположного события
    Вероятность того, что событие \( A \) не наступит (противоположное событие \( \overline{A} \)), равна единице минус вероятность наступления события \( A \).
    \( P(\overline{A}) = 1 - P(A) \)
    Вероятность "хотя бы одного" события
    Вероятность того, что хотя бы одно из \( n \) независимых событий \( A_1, A_2, \dots, A_n \) наступит, рассчитывается через вероятность противоположного события — того, что ни одно из них не наступит. Это событие \( \overline{A_1 A_2 \dots A_n} = \overline{A_1} \overline{A_2} \dots \overline{A_n} \).
    \( P(A_1 \cup A_2 \cup \dots \cup A_n) = 1 - P(\overline{A_1}) \cdot P(\overline{A_2}) \cdot \dots \cdot P(\overline{A_n}) \)

    Задали создать проект?

    Создай с помощью ИИ за 5 минут

    До 90% уникальность
    Готовый файл Word
    15-30 страниц
    Список источников по ГОСТ
    Оформление по ГОСТ
    Таблицы и схемы

    Другие упражнения из параграфа § 69

    1145 1146 1147 1148 1149 1150 1151 1152 1153 1154 1155
    Уведомление об авторском праве и цитировании

    ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

    Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

    В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.