Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 69 / Задание 1148

ГДЗ: Упражнение 1148 - § 69 (Независимые события. Умножение вероятностей) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 350, 353, 354
Глава: Глава 12
Параграф: § 69 - Независимые события. Умножение вероятностей
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

1148 упражнение:

Вероятность выигрыша на некоторой бирже в течение каждого из двух фиксированных дней равна 0,3. Найти вероятность того, что на этой бирже: 1) выигрыш произойдет в каждый из этих двух дней; 2) два дня не будет выигрышей; 3) выигрыши произойдут хотя бы в один из двух фиксированных дней.

1) Выигрыш произойдет в каждый из этих двух дней.

Обозначим: \( A_1 \) — выигрыш в первый день, \( A_2 \) — выигрыш во второй день.
По условию, \( P(A_1) = P(A_2) = 0,3 \). События независимы, так как речь идет о разных днях.
Нам нужно найти вероятность совместного наступления \( P(A_1 A_2) \).

  • Используем формулу умножения для независимых событий:
    \( P(A_1 A_2) = P(A_1) \cdot P(A_2) \)
    \( P(A_1 A_2) = 0,3 \cdot 0,3 = 0,09 \)

    • Ответ: Вероятность того, что выигрыш произойдет в каждый из дней, равна \( 0,09 \).

    2) Два дня не будет выигрышей.

    Обозначим: \( \overline{A_1} \) — нет выигрыша в первый день, \( \overline{A_2} \) — нет выигрыша во второй день.
    Вероятность противоположного события \( \overline{A} \) находится по формуле \( P(\overline{A}) = 1 - P(A) \).

  • Находим вероятности противоположных событий:
    \( P(\overline{A_1}) = 1 - P(A_1) = 1 - 0,3 = 0,7 \)
    \( P(\overline{A_2}) = 1 - P(A_2) = 1 - 0,3 = 0,7 \)

  • Находим вероятность совместного наступления \( P(\overline{A_1} \overline{A_2}) \):
    Так как \( A_1 \) и \( A_2 \) независимы, то и \( \overline{A_1} \) и \( \overline{A_2} \) независимы.
    \( P(\overline{A_1} \overline{A_2}) = P(\overline{A_1}) \cdot P(\overline{A_2}) \)
    \( P(\overline{A_1} \overline{A_2}) = 0,7 \cdot 0,7 = 0,49 \)

    • Ответ: Вероятность того, что два дня не будет выигрышей, равна \( 0,49 \).

    3) Выигрыши произойдут хотя бы в один из двух фиксированных дней.

    Нам нужно найти вероятность \( P(A_1 \cup A_2) \). Событие «хотя бы в один из двух дней» противоположно событию «ни в один из двух дней» (которое мы нашли в пункте 2: \( \overline{A_1} \overline{A_2} \)).
    Используем формулу вероятности "хотя бы одного" независимого события: \( P(A_1 \cup A_2) = 1 - P(\overline{A_1} \overline{A_2}) \).

  • Находим вероятность "хотя бы одного":
    \( P(A_1 \cup A_2) = 1 - 0,49 = 0,51 \)

    • Альтернативный способ (через формулу суммы):
    \( P(A_1 \cup A_2) = P(A_1) + P(A_2) - P(A_1 A_2) \)
    \( P(A_1 \cup A_2) = 0,3 + 0,3 - 0,09 = 0,6 - 0,09 = 0,51 \)

    Ответ: Вероятность того, что выигрыш произойдет хотя бы в один из дней, равна \( 0,51 \).

    Что применять при решении

    Определение независимых событий
    События \( A \) и \( B \) называют независимыми, если вероятность их совместного наступления (пересечения) равна произведению их вероятностей. Это ключевое условие для умножения вероятностей.
    \( P(AB) = P(A) \cdot P(B) \)
    Вероятность противоположного события
    Вероятность того, что событие \( A \) не наступит (противоположное событие \( \overline{A} \)), равна единице минус вероятность наступления события \( A \).
    \( P(\overline{A}) = 1 - P(A) \)
    Вероятность "хотя бы одного" события
    Вероятность того, что хотя бы одно из \( n \) независимых событий \( A_1, A_2, \dots, A_n \) наступит, рассчитывается через вероятность противоположного события — того, что ни одно из них не наступит. Это событие \( \overline{A_1 A_2 \dots A_n} = \overline{A_1} \overline{A_2} \dots \overline{A_n} \).
    \( P(A_1 \cup A_2 \cup \dots \cup A_n) = 1 - P(\overline{A_1}) \cdot P(\overline{A_2}) \cdot \dots \cdot P(\overline{A_n}) \)

    Задали создать проект?

    Создай с помощью ИИ за 5 минут

    До 90% уникальность
    Готовый файл Word
    15-30 страниц
    Список источников по ГОСТ
    Оформление по ГОСТ
    Таблицы и схемы

    Другие упражнения из параграфа § 69

    1145 1146 1147 1148 1149 1150 1151 1152 1153 1154 1155
    Уведомление об авторском праве и цитировании

    ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

    Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

    В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.