Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 69 / Задание 1146
| Глава: | Глава 12 |
|---|---|
| Параграф: | § 69 - Независимые события. Умножение вероятностей |
| Учебник: | Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы - |
| Автор: | Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна |
| Год: | 2025 |
| Издание: |
Шаг 1: Определяем пространство элементарных исходов \( \Omega \) и его размер \( |\Omega| \).
Называется одно из чисел: \( 1, 2, \dots, 12 \).
Общее число исходов: \( |\Omega| = 12 \).
Шаг 2: Определяем событие \( A \) и его вероятность \( P(A) \).
Событие \( A \) — названное число является чётным: \( A = \{2, 4, 6, 8, 10, 12\} \).
Число исходов, благоприятствующих \( A \): \( |A| = 6 \).
Вероятность \( P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} \).
Шаг 3: Определяем событие \( B \) и его вероятность \( P(B) \).
Событие \( B \) — названное число кратно трём: \( B = \{3, 6, 9, 12\} \).
Число исходов, благоприятствующих \( B \): \( |B| = 4 \).
Вероятность \( P(B) = \frac{|B|}{|\Omega|} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \).
Шаг 4: Определяем событие \( AB \) (пересечение \( A \) и \( B \)) и его вероятность \( P(AB) \).
Событие \( AB \) — число является чётным и кратным трём (т.е., кратно 6): \( AB = \{6, 12\} \).
Число исходов, благоприятствующих \( AB \): \( |AB| = 2 \).
Вероятность \( P(AB) = \frac{|AB|}{|\Omega|} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6} \).
Шаг 5: Проверяем условие независимости.
Условие независимости: \( P(AB) = P(A) \cdot P(B) \).
\( P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6} \).
Так как \( P(AB) = \frac{1}{6} \) и \( P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{6} \), то \( P(AB) = P(A) \cdot P(B) \). События \( A \) и \( B \) независимы.
Ответ: Являются независимыми.
Шаг 1: Определяем пространство элементарных исходов \( \Omega \) и его размер \( |\Omega| \).
Называется одно из чисел: \( 1, 2, \dots, 13 \).
Общее число исходов: \( |\Omega| = 13 \).
Шаг 2: Определяем событие \( A \) и его вероятность \( P(A) \).
Событие \( A \) — названное число является чётным: \( A = \{2, 4, 6, 8, 10, 12\} \).
Число исходов, благоприятствующих \( A \): \( |A| = 6 \).
Вероятность \( P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|} = \frac{6}{13} \).
Шаг 3: Определяем событие \( B \) и его вероятность \( P(B) \).
Событие \( B \) — названное число кратно трём: \( B = \{3, 6, 9, 12\} \).
Число исходов, благоприятствующих \( B \): \( |B| = 4 \).
Вероятность \( P(B) = \frac{|B|}{|\Omega|} = \frac{4}{13} \).
Шаг 4: Определяем событие \( AB \) (пересечение \( A \) и \( B \)) и его вероятность \( P(AB) \).
Событие \( AB \) — число кратно 6: \( AB = \{6, 12\} \).
Число исходов, благоприятствующих \( AB \): \( |AB| = 2 \).
Вероятность \( P(AB) = \frac{|AB|}{|\Omega|} = \frac{2}{13} \).
Шаг 5: Проверяем условие независимости.
Условие независимости: \( P(AB) = P(A) \cdot P(B) \).
\( P(A) \cdot P(B) = \frac{6}{13} \cdot \frac{4}{13} = \frac{24}{169} \).
Сравниваем \( P(AB) = \frac{2}{13} \) с \( P(A) \cdot P(B) = \frac{24}{169} \).
Для сравнения приведем \( P(AB) \) к знаменателю 169: \( \frac{2}{13} = \frac{2 \cdot 13}{13 \cdot 13} = \frac{26}{169} \).
Так как \( \frac{26}{169} \neq \frac{24}{169} \), то \( P(AB) \neq P(A) \cdot P(B) \). События \( A \) и \( B \) зависимы.
Ответ: Не являются независимыми.
Задали создать проект?
Создай с помощью ИИ за 5 минут
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.
