Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 69 / Задание 1154

ГДЗ: Упражнение 1154 - § 69 (Независимые события. Умножение вероятностей) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 350, 353, 354
Глава: Глава 12
Параграф: § 69 - Независимые события. Умножение вероятностей
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

1154 упражнение:

Вероятность попадания по мишени при одном выстреле некоторым стрелком равна 0,8. Найти вероятность попадания по мишени этим стрелком: 1) в каждом из трёх выстрелов; 2) хотя бы одним из трёх выстрелов.

1) В каждом из трёх выстрелов.

Обозначим \( p \) — вероятность попадания при одном выстреле. \( p = 0,8 \).
Выстрелы независимы.
Нужно найти вероятность совместного наступления \( P(A_1 A_2 A_3) \), где \( A_i \) — попадание при \( i \)-м выстреле.

  • Используем формулу умножения для независимых событий:
    \( P(A_1 A_2 A_3) = P(A_1) \cdot P(A_2) \cdot P(A_3) = p \cdot p \cdot p = p^3 \)
    \( P(A_1 A_2 A_3) = (0,8)^3 = 0,8 \cdot 0,8 \cdot 0,8 = 0,64 \cdot 0,8 = 0,512 \).

    • Ответ: Вероятность попадания в каждом из трёх выстрелов равна \( 0,512 \).

    2) Хотя бы одним из трёх выстрелов.

    Событие "хотя бы одно попадание" (\( A_1 \cup A_2 \cup A_3 \)) противоположно событию "ни одного попадания" (три промаха).
    Обозначим \( \overline{p} \) — вероятность промаха: \( \overline{p} = 1 - p = 1 - 0,8 = 0,2 \).

  • Вероятность ни одного попадания (трех промахов):
    \( P(\overline{A_1} \overline{A_2} \overline{A_3}) = \overline{p} \cdot \overline{p} \cdot \overline{p} = (0,2)^3 \)
    \( P(\overline{A_1} \overline{A_2} \overline{A_3}) = 0,2 \cdot 0,2 \cdot 0,2 = 0,008 \).

  • Находим вероятность "хотя бы одного" попадания:
    \( P(A_1 \cup A_2 \cup A_3) = 1 - P(\overline{A_1} \overline{A_2} \overline{A_3}) \)
    \( P(A_1 \cup A_2 \cup A_3) = 1 - 0,008 = 0,992 \).

    • Ответ: Вероятность попадания хотя бы одним из трёх выстрелов равна \( 0,992 \).

    Что применять при решении

    Определение независимых событий
    События \( A \) и \( B \) называют независимыми, если вероятность их совместного наступления (пересечения) равна произведению их вероятностей. Это ключевое условие для умножения вероятностей.
    \( P(AB) = P(A) \cdot P(B) \)
    Вероятность противоположного события
    Вероятность того, что событие \( A \) не наступит (противоположное событие \( \overline{A} \)), равна единице минус вероятность наступления события \( A \).
    \( P(\overline{A}) = 1 - P(A) \)
    Вероятность "хотя бы одного" события
    Вероятность того, что хотя бы одно из \( n \) независимых событий \( A_1, A_2, \dots, A_n \) наступит, рассчитывается через вероятность противоположного события — того, что ни одно из них не наступит. Это событие \( \overline{A_1 A_2 \dots A_n} = \overline{A_1} \overline{A_2} \dots \overline{A_n} \).
    \( P(A_1 \cup A_2 \cup \dots \cup A_n) = 1 - P(\overline{A_1}) \cdot P(\overline{A_2}) \cdot \dots \cdot P(\overline{A_n}) \)

    Задали создать проект?

    Создай с помощью ИИ за 5 минут

    До 90% уникальность
    Готовый файл Word
    15-30 страниц
    Список источников по ГОСТ
    Оформление по ГОСТ
    Таблицы и схемы

    Другие упражнения из параграфа § 69

    1145 1146 1147 1148 1149 1150 1151 1152 1153 1154 1155
    Уведомление об авторском праве и цитировании

    ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

    Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

    В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.