Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 69 / Задание 1149

ГДЗ: Упражнение 1149 - § 69 (Независимые события. Умножение вероятностей) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 350, 353, 354
Глава: Глава 12
Параграф: § 69 - Независимые события. Умножение вероятностей
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

1149 упражнение:

Для сигнализации об угоне установлены два независимых датчика. Вероятность того, что при угоне сработает первый датчик, равна 0,97, что сработает второй, равна 0,95. Найти вероятность того, что при угоне: 1) сработают оба датчика; 2) оба датчика не сработают; 3) сработает хотя бы один из датчиков; 4) хотя бы один из датчиков не сработает.

1) Сработают оба датчика.

Обозначим: \( A_1 \) — сработает первый датчик, \( A_2 \) — сработает второй датчик.
По условию: \( P(A_1) = 0,97 \), \( P(A_2) = 0,95 \). События \( A_1 \) и \( A_2 \) независимы.
Нужно найти вероятность совместного наступления \( P(A_1 A_2) \).

  • Используем формулу умножения для независимых событий:
    \( P(A_1 A_2) = P(A_1) \cdot P(A_2) \)
    \( P(A_1 A_2) = 0,97 \cdot 0,95 = 0,9215 \)

    • Ответ: Вероятность того, что сработают оба датчика, равна \( 0,9215 \).

    2) Оба датчика не сработают.

    Обозначим: \( \overline{A_1} \) — первый датчик не сработает, \( \overline{A_2} \) — второй датчик не сработает.
    Найдем вероятности противоположных событий:

  • \( P(\overline{A_1}) = 1 - P(A_1) = 1 - 0,97 = 0,03 \)
    \( P(\overline{A_2}) = 1 - P(A_2) = 1 - 0,95 = 0,05 \)

  • Находим вероятность совместного наступления \( P(\overline{A_1} \overline{A_2}) \):
    События \( \overline{A_1} \) и \( \overline{A_2} \) независимы.
    \( P(\overline{A_1} \overline{A_2}) = P(\overline{A_1}) \cdot P(\overline{A_2}) \)
    \( P(\overline{A_1} \overline{A_2}) = 0,03 \cdot 0,05 = 0,0015 \)

    • Ответ: Вероятность того, что оба датчика не сработают, равна \( 0,0015 \).

    3) Сработает хотя бы один из датчиков.

    Событие «сработает хотя бы один датчик» (\( A_1 \cup A_2 \)) противоположно событию «оба датчика не сработают» (\( \overline{A_1} \overline{A_2} \)).
    Используем формулу вероятности "хотя бы одного": \( P(A_1 \cup A_2) = 1 - P(\overline{A_1} \overline{A_2}) \).

  • Находим вероятность "хотя бы одного":
    По пункту 2, \( P(\overline{A_1} \overline{A_2}) = 0,0015 \).
    \( P(A_1 \cup A_2) = 1 - 0,0015 = 0,9985 \)

    • Ответ: Вероятность того, что сработает хотя бы один датчик, равна \( 0,9985 \).

    4) Хотя бы один из датчиков не сработает.

    Событие «хотя бы один датчик не сработает» (\( \overline{A_1} \cup \overline{A_2} \)) противоположно событию «оба датчика сработают» (\( A_1 A_2 \)).
    Используем формулу вероятности "хотя бы одного" противоположного события: \( P(\overline{A_1} \cup \overline{A_2}) = 1 - P(A_1 A_2) \).

  • Находим вероятность "хотя бы один не сработает":
    По пункту 1, \( P(A_1 A_2) = 0,9215 \).
    \( P(\overline{A_1} \cup \overline{A_2}) = 1 - 0,9215 = 0,0785 \)

    • Ответ: Вероятность того, что хотя бы один датчик не сработает, равна \( 0,0785 \).

    Что применять при решении

    Определение независимых событий
    События \( A \) и \( B \) называют независимыми, если вероятность их совместного наступления (пересечения) равна произведению их вероятностей. Это ключевое условие для умножения вероятностей.
    \( P(AB) = P(A) \cdot P(B) \)
    Вероятность противоположного события
    Вероятность того, что событие \( A \) не наступит (противоположное событие \( \overline{A} \)), равна единице минус вероятность наступления события \( A \).
    \( P(\overline{A}) = 1 - P(A) \)
    Вероятность "хотя бы одного" события
    Вероятность того, что хотя бы одно из \( n \) независимых событий \( A_1, A_2, \dots, A_n \) наступит, рассчитывается через вероятность противоположного события — того, что ни одно из них не наступит. Это событие \( \overline{A_1 A_2 \dots A_n} = \overline{A_1} \overline{A_2} \dots \overline{A_n} \).
    \( P(A_1 \cup A_2 \cup \dots \cup A_n) = 1 - P(\overline{A_1}) \cdot P(\overline{A_2}) \cdot \dots \cdot P(\overline{A_n}) \)

    Задали создать проект?

    Создай с помощью ИИ за 5 минут

    До 90% уникальность
    Готовый файл Word
    15-30 страниц
    Список источников по ГОСТ
    Оформление по ГОСТ
    Таблицы и схемы

    Другие упражнения из параграфа § 69

    1145 1146 1147 1148 1149 1150 1151 1152 1153 1154 1155
    Уведомление об авторском праве и цитировании

    ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

    Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

    В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.