ГДЗ: Упражнение 498 - § 29 (Синус, косинус и тангенс двойного угла) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Пояснение: Используем формулу синуса двойного угла \( \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha \). Представим \( 48^{\circ} \) как \( 2 \cdot 24^{\circ} \).

Решение:

Применим формулу синуса двойного угла, полагая \( 2\alpha = 48^{\circ} \), откуда \( \alpha = 24^{\circ} \).

\( \sin 48^{\circ} = \sin (2 \cdot 24^{\circ}) = 2 \sin 24^{\circ} \cos 24^{\circ} \).

Ответ: \( 2 \sin 24^{\circ} \cos 24^{\circ} \).

Пояснение: Используем формулу косинуса двойного угла \( \cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha \). Представим \( 164^{\circ} \) как \( 2 \cdot 82^{\circ} \).

Решение:

Применим формулу косинуса двойного угла, полагая \( 2\alpha = 164^{\circ} \), откуда \( \alpha = 82^{\circ} \).

\( \cos 164^{\circ} = \cos (2 \cdot 82^{\circ}) = \cos^2 82^{\circ} - \sin^2 82^{\circ} \).

Ответ: \( \cos^2 82^{\circ} - \sin^2 82^{\circ} \).

Пояснение: Используем формулу тангенса двойного угла \( \operatorname{tg} 2\alpha = \frac{2 \operatorname{tg} \alpha}{1 - \operatorname{tg}^2 \alpha} \). Представим \( 92^{\circ} \) как \( 2 \cdot 46^{\circ} \).

Решение:

Применим формулу тангенса двойного угла, полагая \( 2\alpha = 92^{\circ} \), откуда \( \alpha = 46^{\circ} \).

\( \operatorname{tg} 92^{\circ} = \operatorname{tg} (2 \cdot 46^{\circ}) = \frac{2 \operatorname{tg} 46^{\circ}}{1 - \operatorname{tg}^2 46^{\circ}} \).

Ответ: \( \frac{2 \operatorname{tg} 46^{\circ}}{1 - \operatorname{tg}^2 46^{\circ}} \).

Пояснение: Используем формулу синуса двойного угла \( \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha \). Представим \( \frac{4\pi}{5} \) как \( 2 \cdot \frac{2\pi}{5} \).

Решение:

Применим формулу синуса двойного угла, полагая \( 2\alpha = \frac{4\pi}{5} \), откуда \( \alpha = \frac{2\pi}{5} \).

\( \sin \frac{4\pi}{5} = \sin \left(2 \cdot \frac{2\pi}{5}\right) = 2 \sin \frac{2\pi}{5} \cos \frac{2\pi}{5} \).

Ответ: \( 2 \sin \frac{2\pi}{5} \cos \frac{2\pi}{5} \).

Пояснение: Используем формулу косинуса двойного угла \( \cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha \). Представим \( \frac{5\pi}{3} \) как \( 2 \cdot \frac{5\pi}{6} \).

Решение:

Применим формулу косинуса двойного угла, полагая \( 2\alpha = \frac{5\pi}{3} \), откуда \( \alpha = \frac{5\pi}{6} \).

\( \cos \frac{5\pi}{3} = \cos \left(2 \cdot \frac{5\pi}{6}\right) = \cos^2 \frac{5\pi}{6} - \sin^2 \frac{5\pi}{6} \).

Ответ: \( \cos^2 \frac{5\pi}{6} - \sin^2 \frac{5\pi}{6} \).