ГДЗ: Упражнение 500 - § 29 (Синус, косинус и тангенс двойного угла) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Пояснение: Используем формулу синуса двойного угла: \( 2 \sin \alpha \cos \alpha = \sin 2\alpha \).

Решение:

Полагая \( \alpha = 15^{\circ} \): \( 2 \sin 15^{\circ} \cos 15^{\circ} = \sin (2 \cdot 15^{\circ}) = \sin 30^{\circ} \).

Известно, что \( \sin 30^{\circ} = \frac{1}{2} \).

Ответ: \( \frac{1}{2} \).

Пояснение: Используем формулу косинуса двойного угла: \( \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = \cos 2\alpha \).

Решение:

Полагая \( \alpha = 15^{\circ} \): \( \cos^2 15^{\circ} - \sin^2 15^{\circ} = \cos (2 \cdot 15^{\circ}) = \cos 30^{\circ} \).

Известно, что \( \cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2} \).

Ответ: \( \frac{\sqrt{3}}{2} \).

Пояснение: Используем формулу тангенса двойного угла: \( \frac{2 \operatorname{tg} \alpha}{1 - \operatorname{tg}^2 \alpha} = \operatorname{tg} 2\alpha \).

Решение:

Полагая \( \alpha = 15^{\circ} \): \( \frac{2 \operatorname{tg} 15^{\circ}}{1 - \operatorname{tg}^2 15^{\circ}} = \operatorname{tg} (2 \cdot 15^{\circ}) = \operatorname{tg} 30^{\circ} \).

Известно, что \( \operatorname{tg} 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{3} \).

Ответ: \( \frac{\sqrt{3}}{3} \).

Пояснение: Раскроем квадрат разности, используя формулу \( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \) и формулы \( \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1 \), \( 2 \sin \alpha \cos \alpha = \sin 2\alpha \).

Решение:

1. Раскрываем скобки: \( \cos^2 75^{\circ} - 2 \cos 75^{\circ} \sin 75^{\circ} + \sin^2 75^{\circ} \).

2. Группируем и применяем формулы: \( (\cos^2 75^{\circ} + \sin^2 75^{\circ}) - (2 \sin 75^{\circ} \cos 75^{\circ}) = 1 - \sin (2 \cdot 75^{\circ}) = 1 - \sin 150^{\circ} \).

3. Вычисляем \( \sin 150^{\circ} \): \( \sin 150^{\circ} = \sin (180^{\circ} - 30^{\circ}) = \sin 30^{\circ} = \frac{1}{2} \).

4. Итоговое значение: \( 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \).

Ответ: \( \frac{1}{2} \).