ГДЗ: Упражнение 501 - § 29 (Синус, косинус и тангенс двойного угла) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Пояснение: Используем формулу синуса двойного угла: \( \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha \). Домножим и разделим выражение на 2.

Решение:

\( \sin \frac{\pi}{8} \cos \frac{\pi}{8} = \frac{1}{2} \cdot (2 \sin \frac{\pi}{8} \cos \frac{\pi}{8}) \).

Полагая \( \alpha = \frac{\pi}{8} \): \( \frac{1}{2} \sin \left(2 \cdot \frac{\pi}{8}\right) = \frac{1}{2} \sin \frac{\pi}{4} \).

Так как \( \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \): \( \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4} \).

Ответ: \( \frac{\sqrt{2}}{4} \).

Пояснение: Используем формулу косинуса двойного угла: \( \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = \cos 2\alpha \).

Решение:

Полагая \( \alpha = \frac{\pi}{8} \): \( \cos^2 \frac{\pi}{8} - \sin^2 \frac{\pi}{8} = \cos \left(2 \cdot \frac{\pi}{8}\right) = \cos \frac{\pi}{4} \).

Известно, что \( \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \).

Ответ: \( \frac{\sqrt{2}}{2} \).

Пояснение: Используем формулу тангенса двойного угла: \( \frac{2 \operatorname{tg} \alpha}{1 - \operatorname{tg}^2 \alpha} = \operatorname{tg} 2\alpha \).

Решение:

Полагая \( \alpha = \frac{\pi}{8} \): \( \frac{2 \operatorname{tg} \frac{\pi}{8}}{1 - \operatorname{tg}^2 \frac{\pi}{8}} = \operatorname{tg} \left(2 \cdot \frac{\pi}{8}\right) = \operatorname{tg} \frac{\pi}{4} \).

Известно, что \( \operatorname{tg} \frac{\pi}{4} = 1 \).

Ответ: \( 1 \).

Пояснение: Упростим внутреннее выражение \( \left(\cos \frac{\pi}{8} + \sin \frac{\pi}{8}\right)^2 \) с помощью формул \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \), \( \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1 \) и \( \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha \).

Решение:

1. Упрощаем внутренний квадрат:
   • \( \left(\cos \frac{\pi}{8} + \sin \frac{\pi}{8}\right)^2 = \cos^2 \frac{\pi}{8} + \sin^2 \frac{\pi}{8} + 2 \sin \frac{\pi}{8} \cos \frac{\pi}{8} \)
   • \( = 1 + \sin \left(2 \cdot \frac{\pi}{8}\right) = 1 + \sin \frac{\pi}{4} = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} \).
2. Подставляем результат в исходное выражение:
   • \( \left(\frac{\sqrt{2}}{2} - \left(1 + \frac{\sqrt{2}}{2}\right)\right)^2 = \left(\frac{\sqrt{2}}{2} - 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 \)
   • \( = (-1)^2 = 1 \).

Ответ: \( 1 \).