ГДЗ: Упражнение 512 - § 29 (Синус, косинус и тангенс двойного угла) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Пояснение: Используем формулу \( \sin 2x = 2 \sin x \cos x \) и вынесем общий множитель.

Решение:

1. Применяем формулу: \( 2 \sin x \cos x - 2 \cos x = 0 \).

2. Выносим \( 2 \cos x \): \( 2 \cos x (\sin x - 1) = 0 \).

3. Уравнение распадается на два:

• Случай 1: \( \cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + \pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).
• Случай 2: \( \sin x - 1 = 0 \Rightarrow \sin x = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

4. Общее решение: \( x = \frac{\pi}{2} + \pi k \).

Ответ: \( x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} \).

Пояснение: Используем формулу \( \cos 2x = 1 - 2 \sin^2 x \).

Решение:

1. Применяем формулу: \( (1 - 2 \sin^2 x) + \sin^2 x = 1 \).

2. Упрощаем: \( 1 - \sin^2 x = 1 \Rightarrow -\sin^2 x = 0 \Rightarrow \sin x = 0 \).

3. Общее решение: \( x = \pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

Ответ: \( x = \pi k, k \in \mathbb{Z} \).

Пояснение: Используем формулу \( \sin 2x = 2 \sin x \cos x \), перенесем все в одну часть и вынесем общий множитель.

Решение (для 4cos x = sin 2x):

1. Применяем формулу: \( 4 \cos x = 2 \sin x \cos x \).

2. Переносим: \( 4 \cos x - 2 \sin x \cos x = 0 \).

3. Выносим \( 2 \cos x \): \( 2 \cos x (2 - \sin x) = 0 \).

4. Уравнение распадается на два:

• Случай 1: \( \cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + \pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).
• Случай 2: \( 2 - \sin x = 0 \Rightarrow \sin x = 2 \). Решений нет, так как \( |\sin x| \le 1 \).

Ответ: \( x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} \).

Пояснение: Используем основное тождество \( \sin^2 2x = 1 - \cos^2 2x \). Получим квадратное уравнение относительно \( \cos 2x \).

Решение:

1. Применяем тождество: \( 1 - \cos^2 2x = -\cos 2x \).

2. Переносим и приводим к квадратному уравнению: \( \cos^2 2x - \cos 2x - 1 = 0 \).

3. Замена \( y = \cos 2x \): \( y^2 - y - 1 = 0 \).

4. Находим корни: \( y_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(-1)}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2} \).

5. Решения для \( \cos 2x \):

• \( \cos 2x = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \). Нет решений, так как \( \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1,618 > 1 \).
• \( \cos 2x = \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \). Решение есть, так как \( -1 \le \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \le 1 \).

6. Общее решение: \( 2x = \pm \arccos \left(\frac{1 - \sqrt{5}}{2}\right) + 2\pi k \) \( \Rightarrow x = \pm \frac{1}{2} \arccos \left(\frac{1 - \sqrt{5}}{2}\right) + \pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

Ответ: \( x = \pm \frac{1}{2} \arccos \left(\frac{1 - \sqrt{5}}{2}\right) + \pi k, k \in \mathbb{Z} \).

Пояснение: Используем формулу \( 2 \cos^2 \frac{x}{2} = 1 + \cos x \).

Решение:

1. Применяем формулу: \( \sin x + (1 + \cos x) + 1 = 0 \).

2. Упрощаем: \( \sin x + \cos x + 2 = 0 \Rightarrow \sin x + \cos x = -2 \).

3. Преобразуем левую часть: \( \sin x + \cos x = \sqrt{2} \sin \left(x + \frac{\pi}{4}\right) \).

4. Уравнение: \( \sqrt{2} \sin \left(x + \frac{\pi}{4}\right) = -2 \Rightarrow \sin \left(x + \frac{\pi}{4}\right) = -\frac{2}{\sqrt{2}} = -\sqrt{2} \).

5. Так как \( |-\sqrt{2}| > 1 \), уравнение не имеет решений.

Ответ: Нет решений.

Пояснение: Используем формулы \( \sin 2x = 2 \sin x \cos x \) и \( \sin^2 \frac{x}{2} = \frac{1 - \cos x}{2} \).

Решение:

1. Применяем формулы: \( 2 \sin x \cos x = \frac{1 - \cos x}{2} \).

2. Умножаем на 2: \( 4 \sin x \cos x = 1 - \cos x \).

3. Переносим: \( 4 \sin x \cos x + \cos x - 1 = 0 \) или \( \cos x (4 \sin x + 1) = 1 \).

4. Это сложное уравнение, которое, как правило, решается универсальной подстановкой, что приводит к кубическому уравнению. Если не предполагать опечатку, то решение остается в этом виде.

Ответ: \( 4 \sin x \cos x + \cos x - 1 = 0 \). (Сложное трансцендентное уравнение, точное решение которого не выражается элементарными функциями, кроме как в частном случае с опечаткой в учебнике.)