Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 29 / Задание 507

ГДЗ: Упражнение 507 - § 29 (Синус, косинус и тангенс двойного угла) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 149, 150, 151
Глава: Глава 5
Параграф: § 29 - Синус, косинус и тангенс двойного угла
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

507 упражнение:

Упростить выражение:

1) \( \frac{\sin 2\alpha}{(\sin \alpha + \cos \alpha)^2 - 1} \)

Пояснение: Упростим знаменатель, используя формулу \( (\sin \alpha + \cos \alpha)^2 = 1 + \sin 2\alpha \).

Решение:

1. Упростим знаменатель (З): \( З = (1 + \sin 2\alpha) - 1 = \sin 2\alpha \).

2. Исходное выражение: \( \frac{\sin 2\alpha}{\sin 2\alpha} \).

3. Сокращаем (при \( \sin 2\alpha \neq 0 \)): \( 1 \).

Ответ: \( 1 \).

2) \( \frac{1 + \cos 2\alpha}{1 - \cos 2\alpha} \)

Пояснение: Используем формулы \( 1 + \cos 2\alpha = 2 \cos^2 \alpha \) и \( 1 - \cos 2\alpha = 2 \sin^2 \alpha \).

Решение:

1. Применяем формулы: \( \frac{2 \cos^2 \alpha}{2 \sin^2 \alpha} \).

2. Сокращаем 2 и используем определение котангенса: \( \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} = \left(\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}\right)^2 = \operatorname{ctg}^2 \alpha \).

Ответ: \( \operatorname{ctg}^2 \alpha \).

Что применять при решении

Формула синуса двойного угла
Синус двойного угла равен удвоенному произведению синуса и косинуса исходного угла.
\( \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha \)
Формула косинуса двойного угла
Косинус двойного угла равен разности квадратов косинуса и синуса исходного угла. Имеет две альтернативные формы.
\( \cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha \) или \( \cos 2\alpha = 2 \cos^2 \alpha - 1 \) или \( \cos 2\alpha = 1 - 2 \sin^2 \alpha \)
Формула тангенса двойного угла
Тангенс двойного угла выражается через тангенс исходного угла.
\( \operatorname{tg} 2\alpha = \frac{2 \operatorname{tg} \alpha}{1 - \operatorname{tg}^2 \alpha} \)
Основное тригонометрическое тождество
Сумма квадратов синуса и косинуса одного и того же угла равна единице.
\( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \)
Связь косинуса двойного угла с синусом суммы
Квадрат суммы синуса и косинуса выражается через синус двойного угла.
\( (\sin \alpha + \cos \alpha)^2 = 1 + \sin 2\alpha \)
Связь косинуса двойного угла с синусом разности
Квадрат разности синуса и косинуса выражается через синус двойного угла.
\( (\sin \alpha - \cos \alpha)^2 = 1 - \sin 2\alpha \)

Задали создать проект?

Создай с помощью ИИ за 5 минут

До 90% уникальность
Готовый файл Word
15-30 страниц
Список источников по ГОСТ
Оформление по ГОСТ
Таблицы и схемы

Другие упражнения из параграфа § 29

498 499 500 501 502 503 504 505 506 507 508 509 510 511 512
Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.