ГДЗ: Упражнение 502 - § 29 (Синус, косинус и тангенс двойного угла) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Пояснение: Используем формулу синуса двойного угла: \( 2 \sin \alpha \cos \alpha = \sin 2\alpha \).

Решение:

Полагая \( \alpha = 75^{\circ} \): \( 2 \sin 75^{\circ} \cos 75^{\circ} = \sin (2 \cdot 75^{\circ}) = \sin 150^{\circ} \).

По формуле приведения: \( \sin 150^{\circ} = \sin (180^{\circ} - 30^{\circ}) = \sin 30^{\circ} = \frac{1}{2} \).

Ответ: \( \frac{1}{2} \).

Пояснение: Используем формулу косинуса двойного угла: \( \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = \cos 2\alpha \).

Решение:

Полагая \( \alpha = 75^{\circ} \): \( \cos^2 75^{\circ} - \sin^2 75^{\circ} = \cos (2 \cdot 75^{\circ}) = \cos 150^{\circ} \).

По формуле приведения: \( \cos 150^{\circ} = \cos (180^{\circ} - 30^{\circ}) = -\cos 30^{\circ} = -\frac{\sqrt{3}}{2} \).

Ответ: \( -\frac{\sqrt{3}}{2} \).

Пояснение: Используем формулу тангенса двойного угла: \( \frac{2 \operatorname{tg} \alpha}{1 - \operatorname{tg}^2 \alpha} = \operatorname{tg} 2\alpha \). Выражение можно представить как \( 3 \cdot \frac{2 \operatorname{tg} 75^{\circ}}{1 - \operatorname{tg}^2 75^{\circ}} \).

Решение:

1. Преобразуем выражение: \( 3 \cdot \frac{2 \operatorname{tg} 75^{\circ}}{1 - \operatorname{tg}^2 75^{\circ}} \).

2. Применим формулу тангенса двойного угла: \( 3 \operatorname{tg} (2 \cdot 75^{\circ}) = 3 \operatorname{tg} 150^{\circ} \).

3. Вычисляем \( \operatorname{tg} 150^{\circ} \): \( \operatorname{tg} 150^{\circ} = \operatorname{tg} (180^{\circ} - 30^{\circ}) = -\operatorname{tg} 30^{\circ} = -\frac{\sqrt{3}}{3} \).

4. Итоговое значение: \( 3 \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = -\sqrt{3} \).

Ответ: \( -\sqrt{3} \).

Пояснение: Используем формулу тангенса половинного угла \( \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \cos \alpha}{\sin \alpha} \) для угла \( 22^{\circ} 30' = 22.5^{\circ} \), где \( \alpha = 45^{\circ} \).

Решение:

1. Находим \( \operatorname{tg} 22^{\circ} 30' \):
   • \( \operatorname{tg} 22^{\circ} 30' = \frac{1 - \cos 45^{\circ}}{\sin 45^{\circ}} = \frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{2 - \sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{(2 - \sqrt{2})\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} - 1 \).
2. Вычисляем выражение:
   • \( \operatorname{tg}^2 22^{\circ} 30' - 1 = (\sqrt{2} - 1)^2 - 1 = (2 - 2\sqrt{2} + 1) - 1 \)
   • \( = 3 - 2\sqrt{2} - 1 = 2 - 2\sqrt{2} \).

Ответ: \( 2 - 2\sqrt{2} \).