ГДЗ: Упражнение 499 - § 29 (Синус, косинус и тангенс двойного угла) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Пояснение: Сначала используем формулу приведения \( \sin \left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = \cos \alpha \). Затем представим \( \cos \alpha \) как косинус двойного угла для \( \frac{\alpha}{2} \).

Решение:

1. По формуле приведения: \( \sin \left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = \cos \alpha \).

2. Применим формулу косинуса двойного угла, полагая \( \alpha = 2 \cdot \frac{\alpha}{2} \):

\( \cos \alpha = \cos^2 \frac{\alpha}{2} - \sin^2 \frac{\alpha}{2} \).

Ответ: \( \cos^2 \frac{\alpha}{2} - \sin^2 \frac{\alpha}{2} \).

Пояснение: Используем формулу синуса суммы: \( \sin(x + y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y \).

Решение:

Применим формулу синуса суммы, зная \( \sin \frac{\pi}{4} = \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \):

\( \sin \left(\frac{\pi}{4} + \beta\right) = \sin \frac{\pi}{4} \cos \beta + \cos \frac{\pi}{4} \sin \beta = \frac{\sqrt{2}}{2} \cos \beta + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin \beta \).

\( \sin \left(\frac{\pi}{4} + \beta\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} (\cos \beta + \sin \beta) \).

Ответ: \( \frac{\sqrt{2}}{2} (\cos \beta + \sin \beta) \).

Пояснение: Используем формулу приведения \( \cos \left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right) = -\sin \alpha \). Затем представим \( -\sin \alpha \) через синус двойного угла для \( \frac{\alpha}{2} \).

Решение:

1. По формуле приведения: \( \cos \left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right) = -\sin \alpha \).

2. Применим формулу синуса двойного угла, полагая \( \alpha = 2 \cdot \frac{\alpha}{2} \):

\( -\sin \alpha = - (2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}) = -2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2} \).

Ответ: \( -2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2} \).

Пояснение: Используем формулу приведения \( \cos \left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right) = \sin \alpha \). Затем представим \( \sin \alpha \) через синус двойного угла для \( \frac{\alpha}{2} \).

Решение:

1. По формуле приведения: \( \cos \left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right) = \sin \alpha \).

2. Применим формулу синуса двойного угла, полагая \( \alpha = 2 \cdot \frac{\alpha}{2} \):

\( \sin \alpha = 2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2} \).

Ответ: \( 2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2} \).

Пояснение: Представим \( \sin \alpha \) как синус двойного угла для \( \frac{\alpha}{2} \).

Решение:

Применим формулу синуса двойного угла: \( \sin \alpha = \sin \left(2 \cdot \frac{\alpha}{2}\right) = 2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2} \).

Ответ: \( 2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2} \).

Пояснение: Представим \( \cos \alpha \) как косинус двойного угла для \( \frac{\alpha}{2} \).

Решение:

Применим формулу косинуса двойного угла: \( \cos \alpha = \cos \left(2 \cdot \frac{\alpha}{2}\right) = \cos^2 \frac{\alpha}{2} - \sin^2 \frac{\alpha}{2} \).

Ответ: \( \cos^2 \frac{\alpha}{2} - \sin^2 \frac{\alpha}{2} \).