Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 30 / Задание 513

ГДЗ: Упражнение 513 - § 30 (Синус, косинус и тангенс половинного угла) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 152, 154, 155
Глава: Глава 5
Параграф: § 30 - Синус, косинус и тангенс половинного угла
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

513 упражнение:

Выразить квадрат синуса (косинуса) заданного угла через косинус угла, в два раза большего:

1) \( \sin^2 15^\circ \)

Используем формулу понижения степени для синуса: \( \sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2} \).

  • Шаг 1: Применим формулу к \( \alpha = 15^\circ \). \( 2\alpha = 30^\circ \).

    • \( \sin^2 15^\circ = \frac{1 - \cos (2 \cdot 15^\circ)}{2} = \frac{1 - \cos 30^\circ}{2} \)

  • Шаг 2: Найдем табличное значение \( \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \).

    • \( \sin^2 15^\circ = \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2} = \frac{2 - \sqrt{3}}{4} \)

Ответ: \( \frac{1 - \cos 30^\circ}{2} \) или \( \frac{2 - \sqrt{3}}{4} \).

2) \( \cos^2 1 \frac{\pi}{8} \)

Угол \( 1 \frac{\pi}{8} = \frac{9\pi}{8} \). Используем формулу понижения степени для косинуса: \( \cos^2 \alpha = \frac{1 + \cos 2\alpha}{2} \).

  • Шаг 1: Применим формулу к \( \alpha = \frac{9\pi}{8} \). \( 2\alpha = \frac{9\pi}{4} \).

    • \( \cos^2 \frac{9\pi}{8} = \frac{1 + \cos \left(2 \cdot \frac{9\pi}{8}\right)}{2} = \frac{1 + \cos \frac{9\pi}{4}}{2} \)

  • Шаг 2: Используем периодичность \( \cos (2\pi + \frac{\pi}{4}) = \cos \frac{\pi}{4} \).

    • \( \cos^2 \frac{9\pi}{8} = \frac{1 + \cos \frac{\pi}{4}}{2} = \frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{2 + \sqrt{2}}{4} \)

Ответ: \( \frac{1 + \cos \frac{9\pi}{4}}{2} \) или \( \frac{2 + \sqrt{2}}{4} \).

3) \( \cos^2 (\frac{\pi}{4} - \alpha) \)

Используем формулу понижения степени для косинуса: \( \cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2} \).

  • Шаг 1: Применим формулу к \( x = \frac{\pi}{4} - \alpha \). \( 2x = \frac{\pi}{2} - 2\alpha \).

    • \( \cos^2 \left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right) = \frac{1 + \cos \left(2 \left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right)\right)}{2} = \frac{1 + \cos \left(\frac{\pi}{2} - 2\alpha\right)}{2} \)

  • Шаг 2: Применим формулу приведения \( \cos (\frac{\pi}{2} - y) = \sin y \).

    • \( \cos^2 \left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right) = \frac{1 + \sin 2\alpha}{2} \)

Ответ: \( \frac{1 + \sin 2\alpha}{2} \).

4) \( \sin^2 (\frac{\pi}{4} + \alpha) \)

Используем формулу понижения степени для синуса: \( \sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2} \).

  • Шаг 1: Применим формулу к \( x = \frac{\pi}{4} + \alpha \). \( 2x = \frac{\pi}{2} + 2\alpha \).

    • \( \sin^2 \left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) = \frac{1 - \cos \left(2 \left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right)\right)}{2} = \frac{1 - \cos \left(\frac{\pi}{2} + 2\alpha\right)}{2} \)

  • Шаг 2: Применим формулу приведения \( \cos (\frac{\pi}{2} + y) = -\sin y \).

    • \( \sin^2 \left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) = \frac{1 - (-\sin 2\alpha)}{2} = \frac{1 + \sin 2\alpha}{2} \)

Ответ: \( \frac{1 + \sin 2\alpha}{2} \).

Что применять при решении

Формулы понижения степени (для косинуса и синуса)
Формулы, позволяющие выразить квадрат косинуса или синуса угла через косинус удвоенного угла. Получены из формулы косинуса двойного угла: \( \cos \alpha = \cos^2 \frac{\alpha}{2} - \sin^2 \frac{\alpha}{2} \).
\( \cos^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1 + \cos \alpha}{2} \) \( \sin^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \cos \alpha}{2} \)
Формулы синуса и косинуса половинного угла
Формулы, позволяющие найти синус или косинус половинного угла по известному косинусу целого угла. При использовании этих формул знак выражения определяется четвертью, в которой лежит угол \( \frac{\alpha}{2} \).
\( \cos \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos \alpha}{2}} \) \( \sin \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos \alpha}{2}} \)
Формулы тангенса половинного угла
Формулы, позволяющие найти тангенс половинного угла. Тангенс половинного угла можно выразить через синус и косинус целого угла. Для \( \operatorname{tg} \alpha = \frac{2 \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2}}{1 - \operatorname{tg}^2 \frac{\alpha}{2}} \).
\( \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2} = \frac{\sin \alpha}{1 + \cos \alpha} = \frac{1 - \cos \alpha}{\sin \alpha} \)
Универсальная тригонометрическая подстановка
Формулы, выражающие основные тригонометрические функции \( (\sin \alpha, \cos \alpha, \operatorname{tg} \alpha) \) через тангенс половинного угла \( \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2} \).
\( \sin \alpha = \frac{2 \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2}}{1 + \operatorname{tg}^2 \frac{\alpha}{2}} \) \( \cos \alpha = \frac{1 - \operatorname{tg}^2 \frac{\alpha}{2}}{1 + \operatorname{tg}^2 \frac{\alpha}{2}} \) \( \operatorname{tg} \alpha = \frac{2 \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2}}{1 - \operatorname{tg}^2 \frac{\alpha}{2}} \)

Задали создать проект?

Создай с помощью ИИ за 5 минут

До 90% уникальность
Готовый файл Word
15-30 страниц
Список источников по ГОСТ
Оформление по ГОСТ
Таблицы и схемы

Другие упражнения из параграфа § 30

513 514 515 516 517 518 519 520 521 522 523
Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.