Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 30 / Задание 520

ГДЗ: Упражнение 520 - § 30 (Синус, косинус и тангенс половинного угла) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 152, 154, 155
Глава: Глава 5
Параграф: § 30 - Синус, косинус и тангенс половинного угла
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

520 упражнение:

Доказать тождество:

1) \( \frac{1 - \cos 2\alpha}{\sin 2\alpha} \cdot \operatorname{ctg} \alpha = 1 \)

Преобразуем ЛЧ. Используем формулу тангенса половинного угла: \( \frac{1 - \cos 2\alpha}{\sin 2\alpha} = \operatorname{tg} \alpha \).

  • Шаг 1: Применим формулу.

    • \( \text{ЛЧ} = \operatorname{tg} \frac{2\alpha}{2} \cdot \operatorname{ctg} \alpha = \operatorname{tg} \alpha \cdot \operatorname{ctg} \alpha \)

  • Шаг 2: Используем основное тождество: \( \operatorname{tg} \alpha \cdot \operatorname{ctg} \alpha = 1 \).

    • \( \text{ЛЧ} = 1 = \text{ПЧ} \)

Тождество доказано.

2) \( \frac{\sin 2\alpha}{1 + \cos 2\alpha} = \operatorname{tg} \alpha \)

Преобразуем ЛЧ. Используем формулу тангенса половинного угла: \( \frac{\sin \beta}{1 + \cos \beta} = \operatorname{tg} \frac{\beta}{2} \). Здесь \( \beta = 2\alpha \).

  • Шаг 1: Применим формулу.

    • \( \text{ЛЧ} = \operatorname{tg} \frac{2\alpha}{2} = \operatorname{tg} \alpha = \text{ПЧ} \)

Тождество доказано.

3) \( \frac{1 - 2 \sin^2 \alpha}{1 + \sin 2\alpha} = \frac{1 - \operatorname{tg} \alpha}{1 + \operatorname{tg} \alpha} \)

Преобразуем ЛЧ, используя \( 1 - 2 \sin^2 \alpha = \cos 2\alpha \). Преобразуем ПЧ, используя \( \frac{1 - \operatorname{tg} \alpha}{1 + \operatorname{tg} \alpha} = \operatorname{tg} (\frac{\pi}{4} - \alpha) \).

  • Шаг 1: ЛЧ принимает вид \( \text{ЛЧ} = \frac{\cos 2\alpha}{1 + \sin 2\alpha} \).
  • Шаг 2: Используем формулы приведения и тангенса половинного угла: \( \cos 2\alpha = \sin (\frac{\pi}{2} - 2\alpha) \) и \( 1 + \sin 2\alpha = 1 + \cos (\frac{\pi}{2} - 2\alpha) \).

    • \( \text{ЛЧ} = \frac{\sin (\frac{\pi}{2} - 2\alpha)}{1 + \cos (\frac{\pi}{2} - 2\alpha)} = \operatorname{tg} \left(\frac{\frac{\pi}{2} - 2\alpha}{2}\right) = \operatorname{tg} \left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right) \)

  • Шаг 3: ПЧ преобразуется к тому же виду: \( \text{ПЧ} = \operatorname{tg} \left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right) \).

    • \( \text{ЛЧ} = \text{ПЧ} \)

Тождество доказано.

4) \( \frac{1 + \sin 2\alpha}{\cos 2\alpha} = \operatorname{tg} (\frac{\pi}{4} + \alpha) \)

Преобразуем ЛЧ, используя \( 1 + \sin 2\alpha = (\cos \alpha + \sin \alpha)^2 \) и \( \cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha \).

  • Шаг 1: Заменим числитель и знаменатель.

    • \( \text{ЛЧ} = \frac{(\cos \alpha + \sin \alpha)^2}{(\cos \alpha - \sin \alpha)(\cos \alpha + \sin \alpha)} \)

  • Шаг 2: Сократим.

    • \( \text{ЛЧ} = \frac{\cos \alpha + \sin \alpha}{\cos \alpha - \sin \alpha} \)

  • Шаг 3: Разделим числитель и знаменатель на \( \cos \alpha \) и используем формулу тангенса суммы.

    • \( \text{ЛЧ} = \frac{1 + \operatorname{tg} \alpha}{1 - \operatorname{tg} \alpha} = \operatorname{tg} (\frac{\pi}{4} + \alpha) = \text{ПЧ} \)

Тождество доказано.

Что применять при решении

Формулы понижения степени (для косинуса и синуса)
Формулы, позволяющие выразить квадрат косинуса или синуса угла через косинус удвоенного угла. Получены из формулы косинуса двойного угла: \( \cos \alpha = \cos^2 \frac{\alpha}{2} - \sin^2 \frac{\alpha}{2} \).
\( \cos^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1 + \cos \alpha}{2} \) \( \sin^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \cos \alpha}{2} \)
Формулы синуса и косинуса половинного угла
Формулы, позволяющие найти синус или косинус половинного угла по известному косинусу целого угла. При использовании этих формул знак выражения определяется четвертью, в которой лежит угол \( \frac{\alpha}{2} \).
\( \cos \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos \alpha}{2}} \) \( \sin \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos \alpha}{2}} \)
Формулы тангенса половинного угла
Формулы, позволяющие найти тангенс половинного угла. Тангенс половинного угла можно выразить через синус и косинус целого угла. Для \( \operatorname{tg} \alpha = \frac{2 \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2}}{1 - \operatorname{tg}^2 \frac{\alpha}{2}} \).
\( \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2} = \frac{\sin \alpha}{1 + \cos \alpha} = \frac{1 - \cos \alpha}{\sin \alpha} \)
Универсальная тригонометрическая подстановка
Формулы, выражающие основные тригонометрические функции \( (\sin \alpha, \cos \alpha, \operatorname{tg} \alpha) \) через тангенс половинного угла \( \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2} \).
\( \sin \alpha = \frac{2 \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2}}{1 + \operatorname{tg}^2 \frac{\alpha}{2}} \) \( \cos \alpha = \frac{1 - \operatorname{tg}^2 \frac{\alpha}{2}}{1 + \operatorname{tg}^2 \frac{\alpha}{2}} \) \( \operatorname{tg} \alpha = \frac{2 \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2}}{1 - \operatorname{tg}^2 \frac{\alpha}{2}} \)

Задали создать проект?

Создай с помощью ИИ за 5 минут

До 90% уникальность
Готовый файл Word
15-30 страниц
Список источников по ГОСТ
Оформление по ГОСТ
Таблицы и схемы

Другие упражнения из параграфа § 30

513 514 515 516 517 518 519 520 521 522 523
Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.