ГДЗ: Упражнение 515 - § 30 (Синус, косинус и тангенс половинного угла) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Используем формулу синуса половинного угла: \( \sin \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos \alpha}{2}} \).

• Шаг 1: Определим знак. Так как \( 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} \), то \( 0 < \frac{\alpha}{2} < \frac{\pi}{4} \). Угол в **первой четверти**, синус положительный (+).

\( \sin \frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1 - 0,6}{2}} = \sqrt{\frac{0,4}{2}} = \sqrt{0,2} \)

• Шаг 2: Представим в виде точной дроби.

\( \sin \frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1}{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5} \)

Ответ: \( \sqrt{0,2} \) или \( \frac{\sqrt{5}}{5} \).

Используем формулу косинуса половинного угла: \( \cos \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos \alpha}{2}} \).

• Шаг 1: Определим знак. Угол \( \frac{\alpha}{2} \) в **первой четверти**, косинус положительный (+).

\( \cos \frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1 + 0,6}{2}} = \sqrt{\frac{1,6}{2}} = \sqrt{0,8} \)

• Шаг 2: Представим в виде точной дроби.

\( \cos \frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{4}{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5} \)

Ответ: \( \sqrt{0,8} \) или \( \frac{2\sqrt{5}}{5} \).

Используем формулу тангенса половинного угла: \( \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2} = \frac{\sin \frac{\alpha}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2}} \).

• Шаг 1: Используем результаты из п. 1) и 2).

\( \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2} = \frac{\sqrt{0,2}}{\sqrt{0,8}} = \sqrt{\frac{0,2}{0,8}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2} \)

• Альтернатива: \( \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \cos \alpha}{\sin \alpha} \). Сначала \( \sin \alpha = 0,8 \).

\( \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2} = \frac{1 - 0,6}{0,8} = \frac{0,4}{0,8} = 0,5 \)

Ответ: \( 0,5 \).

Котангенс обратен тангенсу: \( \operatorname{ctg} \frac{\alpha}{2} = \frac{1}{\operatorname{tg} \frac{\alpha}{2}} \).

• Шаг 1: Используем результат из п. 3).

\( \operatorname{ctg} \frac{\alpha}{2} = \frac{1}{0,5} = 2 \)

Ответ: \( 2 \).