Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 30 / Задание 518

ГДЗ: Упражнение 518 - § 30 (Синус, косинус и тангенс половинного угла) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 152, 154, 155
Глава: Глава 5
Параграф: § 30 - Синус, косинус и тангенс половинного угла
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

518 упражнение:

Упростить выражение:

1) \( \frac{1 - \cos \alpha}{\sin \alpha} \)

Используем формулу тангенса половинного угла: \( \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \cos \alpha}{\sin \alpha} \).

  • Шаг 1: Прямое применение формулы.

    • \( \frac{1 - \cos \alpha}{\sin \alpha} = \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2} \)

Ответ: \( \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2} \).

2) \( \frac{\sin \alpha}{1 + \cos \alpha} \)

Используем формулу тангенса половинного угла: \( \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2} = \frac{\sin \alpha}{1 + \cos \alpha} \).

  • Шаг 1: Прямое применение формулы.

    • \( \frac{\sin \alpha}{1 + \cos \alpha} = \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2} \)

Ответ: \( \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2} \).

3) \( \frac{1 - \cos 2\alpha + \sin 2\alpha}{1 + \cos 2\alpha + \sin 2\alpha} \)

Используем формулы двойного угла: \( 1 - \cos 2\alpha = 2 \sin^2 \alpha \), \( 1 + \cos 2\alpha = 2 \cos^2 \alpha \), \( \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha \).

  • Шаг 1: Преобразуем числитель (Ч) и знаменатель (З).

    • \( \text{Ч} = 2 \sin^2 \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha = 2 \sin \alpha (\sin \alpha + \cos \alpha) \)

    \( \text{З} = 2 \cos^2 \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha = 2 \cos \alpha (\cos \alpha + \sin \alpha) \)

  • Шаг 2: Сократим общие множители.

    • \( \frac{2 \sin \alpha (\sin \alpha + \cos \alpha)}{2 \cos \alpha (\cos \alpha + \sin \alpha)} = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \)

  • Шаг 3: Применим определение тангенса.

    • \( \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \operatorname{tg} \alpha \)

Ответ: \( \operatorname{tg} \alpha \).

4) \( \frac{1 + \cos 4\alpha}{\sin 4\alpha} \)

Используем формулу котангенса половинного угла: \( \operatorname{ctg} \frac{\beta}{2} = \frac{1 + \cos \beta}{\sin \beta} \). Здесь \( \beta = 4\alpha \), \( \frac{\beta}{2} = 2\alpha \).

  • Шаг 1: Прямое применение формулы.

    • \( \frac{1 + \cos 4\alpha}{\sin 4\alpha} = \operatorname{ctg} \frac{4\alpha}{2} = \operatorname{ctg} 2\alpha \)

Ответ: \( \operatorname{ctg} 2\alpha \).

5) \( \frac{1 + \cos 2\alpha + \sin 2\alpha}{\sin \alpha + \cos \alpha} \)

Используем формулы двойного угла: \( 1 + \cos 2\alpha = 2 \cos^2 \alpha \), \( \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha \).

  • Шаг 1: Преобразуем числитель (Ч).

    • \( \text{Ч} = 2 \cos^2 \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha = 2 \cos \alpha (\cos \alpha + \sin \alpha) \)

  • Шаг 2: Разделим на знаменатель \( (\sin \alpha + \cos \alpha) \).

    • \( \frac{2 \cos \alpha (\cos \alpha + \sin \alpha)}{\sin \alpha + \cos \alpha} = 2 \cos \alpha \)

Ответ: \( 2 \cos \alpha \).

6) \( (1 - \cos 4\alpha) \operatorname{ctg} \alpha \)

Используем формулы: \( 1 - \cos 4\alpha = 2 \sin^2 2\alpha \) и \( \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha \), \( \operatorname{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \).

  • Шаг 1: Заменим \( 1 - \cos 4\alpha \) и \( \operatorname{ctg} \alpha \).

    • \( 2 \sin^2 2\alpha \cdot \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \)

  • Шаг 2: Используем \( \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha \) для одного множителя \( \sin 2\alpha \).

    • \( 2 \sin 2\alpha \cdot (2 \sin \alpha \cos \alpha) \cdot \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \)

  • Шаг 3: Сократим \( \sin \alpha \).

    • \( 2 \sin 2\alpha \cdot 2 \cos^2 \alpha = 4 \sin 2\alpha \cos^2 \alpha \)

Ответ: \( 4 \sin 2\alpha \cos^2 \alpha \).

Что применять при решении

Формулы понижения степени (для косинуса и синуса)
Формулы, позволяющие выразить квадрат косинуса или синуса угла через косинус удвоенного угла. Получены из формулы косинуса двойного угла: \( \cos \alpha = \cos^2 \frac{\alpha}{2} - \sin^2 \frac{\alpha}{2} \).
\( \cos^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1 + \cos \alpha}{2} \) \( \sin^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \cos \alpha}{2} \)
Формулы синуса и косинуса половинного угла
Формулы, позволяющие найти синус или косинус половинного угла по известному косинусу целого угла. При использовании этих формул знак выражения определяется четвертью, в которой лежит угол \( \frac{\alpha}{2} \).
\( \cos \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos \alpha}{2}} \) \( \sin \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos \alpha}{2}} \)
Формулы тангенса половинного угла
Формулы, позволяющие найти тангенс половинного угла. Тангенс половинного угла можно выразить через синус и косинус целого угла. Для \( \operatorname{tg} \alpha = \frac{2 \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2}}{1 - \operatorname{tg}^2 \frac{\alpha}{2}} \).
\( \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2} = \frac{\sin \alpha}{1 + \cos \alpha} = \frac{1 - \cos \alpha}{\sin \alpha} \)
Универсальная тригонометрическая подстановка
Формулы, выражающие основные тригонометрические функции \( (\sin \alpha, \cos \alpha, \operatorname{tg} \alpha) \) через тангенс половинного угла \( \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2} \).
\( \sin \alpha = \frac{2 \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2}}{1 + \operatorname{tg}^2 \frac{\alpha}{2}} \) \( \cos \alpha = \frac{1 - \operatorname{tg}^2 \frac{\alpha}{2}}{1 + \operatorname{tg}^2 \frac{\alpha}{2}} \) \( \operatorname{tg} \alpha = \frac{2 \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2}}{1 - \operatorname{tg}^2 \frac{\alpha}{2}} \)

Задали создать проект?

Создай с помощью ИИ за 5 минут

До 90% уникальность
Готовый файл Word
15-30 страниц
Список источников по ГОСТ
Оформление по ГОСТ
Таблицы и схемы

Другие упражнения из параграфа § 30

513 514 515 516 517 518 519 520 521 522 523
Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.