Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 30 / Задание 517

ГДЗ: Упражнение 517 - § 30 (Синус, косинус и тангенс половинного угла) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 152, 154, 155
Глава: Глава 5
Параграф: § 30 - Синус, косинус и тангенс половинного угла
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

517 упражнение:

Вычислить:

1) \( \sin 15^\circ \)

Используем формулу синуса половинного угла: \( \sin \alpha = \sqrt{\frac{1 - \cos 2\alpha}{2}} \). \( 2\alpha = 30^\circ \).

  • Шаг 1: Применим формулу. \( 15^\circ \) – I четверть, синус положительный.

    • \( \sin 15^\circ = \sqrt{\frac{1 - \cos 30^\circ}{2}} = \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{4}} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2} \)

  • Шаг 2: Упростим корень. \( \sqrt{2 - \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2} \) (для \( 15^\circ \)).

    • \( \sin 15^\circ = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \)

Ответ: \( \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2} \) или \( \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \).

2) \( \cos 15^\circ \)

Используем формулу косинуса половинного угла: \( \cos \alpha = \sqrt{\frac{1 + \cos 2\alpha}{2}} \). \( 2\alpha = 30^\circ \).

  • Шаг 1: Применим формулу. \( 15^\circ \) – I четверть, косинус положительный.

    • \( \cos 15^\circ = \sqrt{\frac{1 + \cos 30^\circ}{2}} = \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{4}} = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2} \)

  • Шаг 2: Упростим корень. \( \sqrt{2 + \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2} \).

    • \( \cos 15^\circ = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \)

Ответ: \( \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2} \) или \( \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \).

3) \( \operatorname{tg} 22^\circ 30' \)

Угол \( 22^\circ 30' = \left(\frac{45}{2}\right)^\circ \). Используем формулу тангенса половинного угла: \( \operatorname{tg} \alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{\sin 2\alpha} \). \( 2\alpha = 45^\circ \).

  • Шаг 1: Применим формулу.

    • \( \operatorname{tg} 22^\circ 30' = \frac{1 - \cos 45^\circ}{\sin 45^\circ} = \frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} \)

  • Шаг 2: Упростим выражение.

    • \( \operatorname{tg} 22^\circ 30' = \frac{2 - \sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{(2 - \sqrt{2})\sqrt{2}}{2} = \frac{2\sqrt{2} - 2}{2} = \sqrt{2} - 1 \)

Ответ: \( \sqrt{2} - 1 \).

4) \( \operatorname{ctg} 22^\circ 30' \)

Котангенс обратен тангенсу: \( \operatorname{ctg} \alpha = \frac{1}{\operatorname{tg} \alpha} \).

  • Шаг 1: Используем результат из п. 3).

    • \( \operatorname{ctg} 22^\circ 30' = \frac{1}{\sqrt{2} - 1} \)

  • Шаг 2: Избавимся от иррациональности в знаменателе.

    • \( \operatorname{ctg} 22^\circ 30' = \frac{\sqrt{2} + 1}{(\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1)} = \frac{\sqrt{2} + 1}{2 - 1} = \sqrt{2} + 1 \)

Ответ: \( \sqrt{2} + 1 \).

Что применять при решении

Формулы понижения степени (для косинуса и синуса)
Формулы, позволяющие выразить квадрат косинуса или синуса угла через косинус удвоенного угла. Получены из формулы косинуса двойного угла: \( \cos \alpha = \cos^2 \frac{\alpha}{2} - \sin^2 \frac{\alpha}{2} \).
\( \cos^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1 + \cos \alpha}{2} \) \( \sin^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \cos \alpha}{2} \)
Формулы синуса и косинуса половинного угла
Формулы, позволяющие найти синус или косинус половинного угла по известному косинусу целого угла. При использовании этих формул знак выражения определяется четвертью, в которой лежит угол \( \frac{\alpha}{2} \).
\( \cos \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos \alpha}{2}} \) \( \sin \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos \alpha}{2}} \)
Формулы тангенса половинного угла
Формулы, позволяющие найти тангенс половинного угла. Тангенс половинного угла можно выразить через синус и косинус целого угла. Для \( \operatorname{tg} \alpha = \frac{2 \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2}}{1 - \operatorname{tg}^2 \frac{\alpha}{2}} \).
\( \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2} = \frac{\sin \alpha}{1 + \cos \alpha} = \frac{1 - \cos \alpha}{\sin \alpha} \)
Универсальная тригонометрическая подстановка
Формулы, выражающие основные тригонометрические функции \( (\sin \alpha, \cos \alpha, \operatorname{tg} \alpha) \) через тангенс половинного угла \( \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2} \).
\( \sin \alpha = \frac{2 \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2}}{1 + \operatorname{tg}^2 \frac{\alpha}{2}} \) \( \cos \alpha = \frac{1 - \operatorname{tg}^2 \frac{\alpha}{2}}{1 + \operatorname{tg}^2 \frac{\alpha}{2}} \) \( \operatorname{tg} \alpha = \frac{2 \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2}}{1 - \operatorname{tg}^2 \frac{\alpha}{2}} \)

Задали создать проект?

Создай с помощью ИИ за 5 минут

До 90% уникальность
Готовый файл Word
15-30 страниц
Список источников по ГОСТ
Оформление по ГОСТ
Таблицы и схемы

Другие упражнения из параграфа § 30

513 514 515 516 517 518 519 520 521 522 523
Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.